Fermé (topologie)
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En mathématiques, dans un espace topologique E, un fermé est un sous-ensemble de E dont le complémentaire est un ouvert.
Propriétés
- Toute réunion d'une famille finie de fermés est un fermé (y compris l'ensemble vide ∅, qui est — par définition — la réunion de la famille vide).
- Toute intersection d'une famille (finie ou infinie) de fermés est un fermé (y compris l'espace E tout entier, qui est — par convention dans ce contexte — l'intersection de la famille vide).
- Pour toute partie A de E, l'intersection de tous les fermés contenant A est donc un fermé, appelé l'adhérence de A. C'est le plus petit fermé contenant A. Il est donc réduit à A si et seulement si A est fermé.
- Un espace T1 est un espace dont tous les singletons sont fermés. Tout espace séparé est T1.
- L'espace E est dit connexe si E et ∅ sont ses seules parties à la fois ouvertes et fermées.
- Il peut exister aussi des ensembles qui ne sont ni ouverts, ni fermés, comme l'intervalle –1, 1–1, 1–1, 1 :
- tout point de A {\displaystyle A} possède dans E {\displaystyle E} un voisinage V {\displaystyle V} tel que A ∩ V {\displaystyle A\cap V} soit un fermé de V {\displaystyle V} (c'est-à-dire tel que A ∩ V = F ∩ V {\displaystyle A\cap V=F\cap V} pour au moins un fermé F {\displaystyle F} de E {\displaystyle E} ) ;
- A {\displaystyle A} est ouvert dans son adhérence A ¯ {\displaystyle {\overline {A}}} (c'est-à-dire : A = V ∩ A ¯ {\displaystyle A=V\cap {\overline {A}}} pour au moins un ouvert V {\displaystyle V} de E {\displaystyle E} ) ;
- A {\displaystyle A} est l'intersection d'un ouvert et d'un fermé de E {\displaystyle E}
2 ⇒ 3 {\displaystyle 2\Rightarrow 3} : 2 {\displaystyle 2} implique que A {\displaystyle A} est l'intersection d'un ouvert de E {\displaystyle E} et du fermé A ¯ {\displaystyle {\overline {A}}} .
3 ⇒ 1 {\displaystyle 3\Rightarrow 1} : Pour tout x ∈ A {\displaystyle x\in A} , on prend pour V {\displaystyle V} et F {\displaystyle F} un ouvert et un fermé dont A {\displaystyle A} est l'intersection.
1 ⇒ 2 {\displaystyle 1\Rightarrow 2} : Pour tout x ∈ A {\displaystyle x\in A} , soit V {\displaystyle V} un voisinage de x {\displaystyle x} tel que A ∩ V {\displaystyle A\cap V} soit fermé dans V {\displaystyle V} . Quitte à remplacer V {\displaystyle V} par son intérieur, on peut supposer de plus qu'il est ouvert. Moyennant quoi, A ¯ ∩ V ⊂ A {\displaystyle {\overline {A}}\cap V\subset A} (en effet, A ∖ V ¯ {\displaystyle {\overline {A\setminus V}}} est alors disjoint de V {\displaystyle V} donc A ¯ ∩ V {\displaystyle {\overline {A}}\cap V} est réduit à A ∩ V ¯ ∩ V = A ∩ V {\displaystyle {\overline {A\cap V}}\cap V=A\cap V} , l'adhérence relative de A ∩ V {\displaystyle A\cap V} dans V {\displaystyle V} ). Ceci montre que dans le sous-espace A ¯ {\displaystyle {\overline {A}}} , la partie A {\displaystyle A} est voisinage de chacun de ses points donc ouverte.
Notes et références
- N. Bourbaki, Éléments de mathématique, livre III : Topologie générale , p. I.1, aperçu sur Google Livres.
- Bourbaki, p. I.20 sur Google Livres.
Voir aussi
- Hiérarchie de Borel
- Espace absolument fermé (en) (les plus connus sont les compacts)
- Théorème des fermés emboîtés
possède dans
E
{\displaystyle E}
un 
tel que
A
∩
V
{\displaystyle A\cap V}
soit un fermé de
V
{\displaystyle V}
pour au moins un fermé
F
{\displaystyle F}
de
E
{\displaystyle E}
(c'est-à-dire :
A
=
V
∩
A
¯
{\displaystyle A=V\cap {\overline {A}}}
pour au moins un ouvert
V
{\displaystyle V}
:
2
{\displaystyle 2}
implique que
A
{\displaystyle A}
: Pour tout
x
∈
A
{\displaystyle x\in A}
, on prend pour
V
{\displaystyle V}
: Pour tout
x
∈
A
{\displaystyle x\in A}
tel que
A
∩
V
{\displaystyle A\cap V}
(en effet,
A
∖
V
¯
{\displaystyle {\overline {A\setminus V}}}
est alors disjoint de
V
{\displaystyle V}
est réduit à
A
∩
V
¯
∩
V
=
A
∩
V
{\displaystyle {\overline {A\cap V}}\cap V=A\cap V}
, l'