Intervalle (mathématiques)
En mathématiques, un intervalle (du latin intervallum) est étymologiquement un ensemble ordonné de points compris entre deux bornes. Cette notion première s'est ensuite développée jusqu'à aboutir à la notion topologique de boule d'un espace métrique.
Intervalles de ℝ
Inventaire
Initialement, on appelle intervalle réel un ensemble de nombres délimité par deux nombres réels constituant une borne inférieure et une borne supérieure. Un intervalle contient tous les nombres réels compris entre ces deux bornes.
Cette définition regroupe les intervalles des types suivants (avec a et b réels et a < b) :
- { x ∈ R ∣ a < x < b } = ] a ; b a;ba;b {\displaystyle \{x\in \mathbb {R} \mid a\leq x\leq b\}=} (fermé et non ouvert)
- { x ∈ R ∣ a < x ≤ b } = ] a ; b ] {\displaystyle \{x\in \mathbb {R} \mid a<x\leq b\}=\;]a;b]} (semi-ouvert à gauche, semi-fermé à droite)
- { x ∈ R ∣ a ≤ x < b } = ) utilise, pour les intervalles (semi-)ouverts, une parenthèse au lieu d'un crochet, et une virgule séparatrice au lieu d'un point-virgule : les intervalles ci-dessus sont alors notés respectivement ( a , b ) , ( a , b ] , \qquad (a,b],\qquad \qquad (a,b],\qquad − ∞ ; a {-\infty };a{-\infty };a − ∞ ; a ] = ( − ∞ , a ] {\displaystyle \left\{x\in \mathbb {R} \mid x\leq a\right\}=\;]{-\infty };a]=(-\infty ,a]} (fermé et non ouvert)
- { x ∈ R ∣ x > a } = ] a ; + ∞ a;+\infty a;+\infty (fermé et non ouvert) ;
- l'ensemble des nombres réels
R
=
]
−
∞
;
+
∞
{-\infty };+\infty {-\infty };+\infty
⊂
I
)
{\displaystyle \forall (x,y)\in I^{2},\ (x\leq y\Rightarrow \subset I)}
autrement dit :
∀ ( x , y ) ∈ I 2 , ∀ z ∈ R , ( x ≤ z ≤ y ⇒ z ∈ I ) . {\displaystyle \forall (x,y)\in I^{2},\ \forall z\in \mathbb {R} ,\ (x\leq z\leq y\Rightarrow z\in I)\ .}Union et intersection
Une intersection d'intervalles de ℝ est toujours un intervalle. Par exemple,
- − ∞ ; 2 ] = {\displaystyle {-\infty };2]=}
- − ∞ ; 2 ] = ∅ {\displaystyle {-\infty };2]=\varnothing }
Une union d'intervalles de ℝ n'est pas toujours un intervalle. Ce sera un intervalle si l'ensemble obtenu reste convexe (intuitivement s'il n'y a pas de « trou »). Dans le cas d'une union de deux intervalles, il suffit que l'intersection de ces intervalles soit non vide pour que leur réunion soit convexe. Par exemple,
-
]
−
∞
;
2
]
∪
−
∞
;
5
{-\infty };2]\;\cup {-\infty };5{-\infty };2]\;\cup {-\infty };5
−
∞
;
2
]
=
]
−
∞
;
2
]
∪
{-\infty };2]=\;]{-\infty };2]\cup {-\infty };2]=\;]{-\infty };2]\cup : ses composantes connexes.
Les intervalles sont les parties de ℝ les plus intéressantes dès que l'on parle de continuité et de dérivabilité.
Un intervalle réel est dit non trivial s'il est non vide et non réduit à un point.
On trouve alors (entre autres) pour les fonctions réelles d'une variable réelle, des propriétés telles que :
- L'image par une fonction continue d'un intervalle de ℝ est un intervalle de ℝ (théorème des valeurs intermédiaires).
- Une fonction dérivable et à dérivée identiquement nulle sur un intervalle est constante sur cet intervalle.
- Une fonction dérivable est croissante (au sens large) sur un intervalle non trivial si et seulement si sa dérivée reste positive (au sens large) sur cet intervalle.
Remarque : La fonction f : ℝ* → ℝ définie par f(x) = x/|x| est dérivable sur ℝ*, et sa dérivée est identiquement nulle ; mais f n'est pas constante. Ceci tient au fait que ℝ* = ℝ\{0} n'est pas un intervalle.
Généralisation
Dans tout ensemble totalement ordonné (S, ≤), on peut définir les intervalles, de la même façon que dans ℝ, comme les ensembles convexes (au sens de la définition générale énoncée plus haut). On retrouve parmi eux les types suivants (mais ce ne sont plus les seuls) :
- { z ∈ S ∣ a < z < b } {\displaystyle \left\{z\in S\mid a<z<b\right\}} , { z ∈ S ∣ a ≤ z ≤ b } {\displaystyle \left\{z\in S\mid a\leq z\leq b\right\}} , { z ∈ S ∣ a < z ≤ b } {\displaystyle \left\{z\in S\mid a<z\leq b\right\}} , { z ∈ S ∣ a ≤ z < b } {\displaystyle \left\{z\in S\mid a\leq z<b\right\}}
- { z ∈ S ∣ z < a } {\displaystyle \left\{z\in S\mid z<a\right\}} , { z ∈ S ∣ z ≤ a } {\displaystyle \left\{z\in S\mid z\leq a\right\}} , { z ∈ S ∣ z > a } {\displaystyle \left\{z\in S\mid z>a\right\}} , { z ∈ S ∣ z ≥ a } {\displaystyle \left\{z\in S\mid z\geq a\right\}}
- ∅ {\displaystyle \varnothing } , S {\displaystyle \quad S}
Les quatre premières notations généralisent respectivement l'intervalle ouvert, l'intervalle fermé, l'intervalle semi-ouvert à gauche et l'intervalle semi-ouvert à droite. La cinquième notation est un cas particulier de section commençante ouverte ; les trois suivantes sont la section commençante fermée, la section finissante ouverte et la section finissante fermée déterminées par a, respectivement.
Il est donc tout à fait possible de définir dans ℤ l'intervalle des entiers relatifs compris entre –5 et 3 mais il serait dangereux de le noter sans avertissement préalable à cause du risque de confusion avec la notation des intervalles de ℝ. On utilise parfois la notation avec des crochets blancs ⟦–5, 3⟧ et parfois la notation avec des crochets doubles (usage très répandu en probabilités).
Une intersection d'intervalles est encore un intervalle.
Notes et références
- Voir par exemple Nawfal El Hage Hassan, Topologie générale et espaces normés : Cours et exercices corrigés, Dunod, 2018, 2e éd. (1re éd. 2011) (lire en ligne), p. 10 et 246, ou cet exercice corrigé de la leçon « Topologie générale » sur Wikiversité.
- Pour plus de détails, voir le § Monotonie et signe de la dérivée de l'article sur les fonctions monotones.
- D. Guinin et B. Joppin, Algèbre et géométrie MPSI, Bréal, 2003 (ISBN 9782749502182), Définition 27 p. 176.
- Ce n'est qu'un cas particulier, car il peut exister des sections commençantes ouvertes dont a n'est pas la borne supérieure — c'est notamment le cas des coupures de Dedekind qui définissent un nombre réel et n'ont pas nécessairement de borne supérieure dans ℚ.
- Remarque analogue : une section finissante n'a pas nécessairement une borne inférieure.
- J.-M. Arnaudiès et H. Fraysse, Cours de mathématiques-1 Algèbre, Dunod, 1987 (ISBN 2040164502), p. 52.
Article connexe
(fermé et non ouvert)![{\displaystyle \{x\in \mathbb {R} \mid a<x\leq b\}=\;]a;b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee44cb6086f47403d35081b6a2f78189aaf33ced)
(semi-ouvert à gauche, semi-fermé à droite)![{\displaystyle \left\{x\in \mathbb {R} \mid x\leq a\right\}=\;]{-\infty };a]=(-\infty ,a]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/474798a35f5620903ce615ca2c86a6b0aa5e92b2)
(fermé et non ouvert)
![{\displaystyle {-\infty };2]=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86a9bfba10a6521434b91fb838a462db952859a1)
![{\displaystyle {-\infty };2]=\varnothing }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1201b9d21c885dbeb32583a3e541770dee3542b)
,
{
z
∈
S
∣
a
≤
z
≤
b
}
{\displaystyle \left\{z\in S\mid a\leq z\leq b\right\}}
,
{
z
∈
S
∣
a
<
z
≤
b
}
{\displaystyle \left\{z\in S\mid a<z\leq b\right\}}
,
{
z
∈
S
∣
a
≤
z
<
b
}
{\displaystyle \left\{z\in S\mid a\leq z<b\right\}}
,
{
z
∈
S
∣
z
≤
a
}
{\displaystyle \left\{z\in S\mid z\leq a\right\}}
,
{
z
∈
S
∣
z
>
a
}
{\displaystyle \left\{z\in S\mid z>a\right\}}
,
{
z
∈
S
∣
z
≥
a
}
{\displaystyle \left\{z\in S\mid z\geq a\right\}}
,
S
{\displaystyle \quad S}
