Intérieur (topologie)
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Le point x est dans l'intérieur de S car il y a une boule centrée en x entièrement incluse dans S. Le point y n'est pas dans l'intérieur de S.
En mathématiques, l'intérieur (abrégé en int) est une notion de topologie appliquée à une partie d'un espace topologique.
Soit X un espace topologique et A une partie de X. On appelle intérieur de A le plus grand ouvert de X inclus dans A. Il existe : c'est la réunion de tous les ouverts inclus dans A. Il se note soit à l'aide d'un petit cercle suscrit, soit par une notation préfixe avec l'abréviation int :
A ∘ = i n t ( A ) {\displaystyle {\stackrel {\ \circ }{A}}=\mathrm {int} (A)} .
.
Illustration de concepts de base en topologie générale
On définit aussi et de façon différente l'intérieur d'une variété à bord.
Topologie générale
Soient X un espace topologique et A une partie de X.
Point intérieur
Un point x de X appartient à l'intérieur de A si et seulement si A est un voisinage de x.
Les éléments de l'intérieur de A sont appelés les « points intérieurs à A ».
Les points non intérieurs à A sont les points adhérents à X\A (le complémentaire de A dans X).
Point extérieur
Un point x de X est dit « extérieur à A » s'il est intérieur à X\A, c'est-à-dire s'il n'est pas adhérent à A.
Dans un espace métrique E {\displaystyle E} , pour qu'un point x ∈ E {\displaystyle x\in E} soit extérieur à une partie non vide A ⊂ E {\displaystyle A\subset E} , il faut et il suffit que sa distance à A {\displaystyle A} soit non nulle.
, pour qu'un point
x
∈
E
{\displaystyle x\in E}
soit extérieur à une partie non vide
A
⊂
E
{\displaystyle A\subset E}
, il faut et il suffit que 
Propriétés
- Une partie est ouverte si et seulement si elle est égale à son intérieur.
- Idempotence : l'intérieur de l'intérieur est égal à l'intérieur.
- Croissance pour l'inclusion : si A est une partie de B alors int(A) est une partie de int(B).
- Le complémentaire de l'intérieur est égal à l'adhérence du complémentaire.
- Compatibilité avec les produits finis : si A ⊂ X et B ⊂ Y alors, l'intérieur de A×B dans l'espace produit X×Y est int(A)×int(B).
- Si U est un sous-espace de X (muni de la topologie induite) et F une partie de X, l'intérieur de F ∩ U dans ce sous-espace contient int(F) ∩ U (parfois strictement, comme dans l'exemple X = ℝ et F = U = {0}). Il lui est égal si U est un ouvert de X.
- L'intérieur d'une intersection est incluse dans l'intersection des intérieurs mais l'inclusion peut être stricte (pour une intersection finie, on a cependant égalité).
- Une union d'intérieurs est incluse dans l'intérieur de l'union mais l'inclusion peut être stricte, même pour une union finie.
- Pour un ensemble dénombrable de fermés d'un espace de Baire, l'union des intérieurs est dense dans l'intérieur de l'union.En effet, soit U un ouvert non vide inclus dans l'union des fermés Fn. Dans l'espace de Baire U (muni de la topologie induite), l'intérieur int(Fn) ∩ U de l'un des fermés Fn ∩ U est non vide, donc U rencontre l'union des int(Fn).
Exemples
- Dans n'importe quel espace topologique X, l'ensemble vide et X sont ouverts donc égaux à leurs intérieurs.
- Dans un espace discret, toute partie est, de même, son propre intérieur.
- Dans un espace métrique, un point a est intérieur à une partie A s'il existe r > 0 tel que la boule ouverte de centre a et de rayon r soit incluse dans A.
- Dans l'espace euclidien R des nombres réels muni de la topologie usuelle :
- l'intérieur du segment est l'intervalle ouvert ]0, 1–∞, 0]⋃–∞, 1/(n+1)–∞, 0], dont l'intérieur est ]–∞, 0) = ]0,1) = ;
- muni de la topologie grossière, int() est l'ensemble vide.
Topologie des variétés
L'intérieur d'une variété topologique à bord M de dimension n est l'ensemble des points de M qui possèdent (dans M) des voisinages homéomorphes à Rn. Son complémentaire dans M est appelé le bord de M.
Si M est compacte et plongée dans Rn, la définition de son intérieur coïncide avec la définition de topologie générale.
Notes et références
- Jacques Dixmier, Topologie générale, PUF, 1981 (ISBN 2130366473), p. 17-18.
- Jean Dieudonné, Éléments d'analyse, t. I : Fondements de l'analyse moderne, Paris, Gauthier-Villars, 1979 (ISBN 978-2-04-010410-8, OCLC 489875029), p. 38.
Voir aussi
