En mathématiques, et plus particulièrement en théorie des ensembles, le complémentaire d'une partie A {\displaystyle A} d'un ensemble E {\displaystyle E} est constitué de tous les éléments de E {\displaystyle E} n'appartenant pas à A {\displaystyle A} .
Le complémentaire de A {\displaystyle A} est noté C A {\displaystyle ^{C}A} , A C {\displaystyle A^{C}} , ∁ A {\displaystyle \complement A} . En cas de risque de confusion, si l'on veut préciser que l'on parle du complémentaire de A {\displaystyle A} dans E {\displaystyle E} , on note ∁ E A {\displaystyle \complement _{E}A} . Il est parfois noté A ¯ {\displaystyle {\overline {A}}} , mais cette notation est à éviter car elle désigne également l'adhérence de A.
Si A {\displaystyle A} est différent de l'ensemble vide et de E {\displaystyle E} , alors A {\displaystyle A} et A C {\displaystyle A^{C}} forment une partition de l'ensemble E {\displaystyle E} .
Lorsque E {\displaystyle E} est un ensemble fini, la somme des cardinaux de A {\displaystyle A} et A C {\displaystyle A^{C}} est égale au cardinal de E {\displaystyle E} :
card ( A ) + card ( A C ) = card ( E ) {\displaystyle {\text{card}}\left(A\right)+{\text{card}}\left(A^{C}\right)={\text{card}}\left(E\right)} .D'où on déduit :
card ( A C ) = card ( E ) − card ( A ) {\displaystyle {\text{card}}\left(A^{C}\right)={\text{card}}\left(E\right)-{\text{card}}\left(A\right)} . Exemple Pour dénombrer les absents dans une assemblée prévue de cinquante personnes, il suffit de compter les présents. En effet, l'ensemble des personnes absentes est le complémentaire de celui des personnes présentes. Si 47 personnes sont présentes, alors il y a 50 – 47 = 3 absents.L'ensemble dans lequel on travaille est noté E {\displaystyle E} . A {\displaystyle A} et B {\displaystyle B} sont des sous-ensembles de E {\displaystyle E} .