Opérateur différentiel

En mathématiques, et plus précisément en analyse, un opérateur différentiel est un opérateur agissant sur des fonctions différentiables.

Lorsque la fonction est à une seule variable, l'opérateur différentiel est construit à partir des dérivées ordinaires.
Lorsque la fonction est à plusieurs variables, l'opérateur différentiel est construit à partir des dérivées partielles.

Un opérateur différentiel agissant sur deux fonctions D ( f , g ) {\displaystyle D(f,g)} $D(f,g)$ est appelé opérateur bidifférentiel.

Exemples

L'opération différentielle la plus commune consiste simplement à prendre la dérivée de la grandeur considérée. Les notations usuelles pour désigner la dérivée première par rapport à une variable x sont par exemple :

d d x {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}}

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}

ou ∂ x {\displaystyle \partial _{x}}

\partial _{x}

, ou encore D {\displaystyle D}

D

ou D x {\displaystyle D_{x}}

D_{x}

La notation en D est attribuée à Oliver Heaviside, qui l'a introduite dans son étude des équations différentielles pour noter des opérateurs différentiels de la forme :

∑ k = 0 n c k D k {\displaystyle \sum _{k=0}^{n}c_{k}D^{k}}

\sum _{k=0}^{n}c_{k}D^{k}

Pour des dérivées d'ordre n supérieur, ces mêmes opérateurs peuvent s'écrire :

d n d x n {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}}

{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}

, ∂ x n n {\displaystyle \partial _{x^{n}}^{n}}

\partial _{x^{n}}^{n}

ou encore D x n {\displaystyle D_{x}^{n}}

D_{x}^{n}

La notation en "prime" s'utilise plutôt pour exprimer la valeur que prend une fonction dérivée f pour un argument x :

f ′ ( x ) {\displaystyle f'(x)\,\!}

f'(x)\,\!

, ou : ′ {\displaystyle '\,\!}

'\,\!

Deux opérateurs différentiels particulièrement fréquents sont l'opérateur nabla, défini dans une base cartésienne ( i 1 , . . . , i n ) {\displaystyle (\mathbf {i} _{1},...,\mathbf {i} _{n})} $(\mathbf {i} _{1},...,\mathbf {i} _{n})$ , par :

∇ = ∑ k = 1 n ∂ ∂ x k i k , {\displaystyle \nabla =\sum _{k=1}^{n}{\partial \over \partial x_{k}}\mathbf {i} _{k},}

\nabla =\sum _{k=1}^{n}{\partial  \over \partial x_{k}}\mathbf {i} _{k},

ainsi que l'opérateur laplacien, défini par :

Δ = ∇ 2 = ∑ k = 1 n ∂ 2 ∂ x k 2 . {\displaystyle \Delta =\nabla ^{2}=\sum _{k=1}^{n}{\partial ^{2} \over \partial x_{k}^{2}}.}

\Delta =\nabla ^{2}=\sum _{k=1}^{n}{\partial ^{2} \over \partial x_{k}^{2}}.

Un autre opérateur utilisé en physique est l'opérateur Θ, dont les vecteurs propres sont les monômes homogènes, défini par

Θ = z d d z {\displaystyle \Theta =z{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}}

\Theta =z{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}

ou, dans le cas de plusieurs variables, Θ = ∑ k = 1 n x k ∂ ∂ x k . {\displaystyle \Theta =\sum _{k=1}^{n}x_{k}{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}.}

\Theta =\sum _{k=1}^{n}x_{k}{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}.

Notations

Soit Ω {\displaystyle \Omega } $\Omega$ un ouvert de R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} $\mathbb {R} ^{n}$ , et x {\displaystyle x} $x$ un point de Ω {\displaystyle \Omega } $\Omega$ . On introduit les n {\displaystyle n} $n$ coordonnées x k ( k = 1 , . . . , n ) {\displaystyle x_{k}{\mbox{ }}(k=1,...,n)} $x_{k}{\mbox{ }}(k=1,...,n)$ . Supposons que l'on ait une fonction des n {\displaystyle n} $n$ variables x k {\displaystyle x_{k}} $x_{k}$ .

Dérivées du premier ordre

Pour simplifier les écritures, on note usuellement la dérivée partielle première par rapport à la coordonnée x k {\displaystyle x_{k}} $x_{k}$ par le symbole :

∂ k = ∂ ∂ x k {\displaystyle \partial _{k}\ =\ {\frac {\partial ~~}{\partial x_{k}}}}

\partial _{k}\ =\ {\frac {\partial ~~}{\partial x_{k}}}

On est également amené à introduire l'opérateur différentiel D k {\displaystyle \mathrm {D} _{k}} $\mathrm {D} _{k}$ du premier ordre défini par :

D k = − i ∂ k = − i ∂ ∂ x k {\displaystyle \mathrm {D} _{k}\ =\ -\ \mathrm {i} \ \partial _{k}\ =\ -\ \mathrm {i} \ {\frac {\partial ~~}{\partial x_{k}}}}

\mathrm {D} _{k}\ =\ -\ \mathrm {i} \ \partial _{k}\ =\ -\ \mathrm {i} \ {\frac {\partial ~~}{\partial x_{k}}}

Dans cette définition, i {\displaystyle \mathrm {i} } $\mathrm {i}$ est la « racine de l'unité » complexe : i 2 = − 1 {\displaystyle \mathrm {i} ^{2}=-1} $\mathrm {i} ^{2}=-1$ . L'intérêt de définir cet opérateur D k {\displaystyle \mathrm {D} _{k}} $\mathrm {D} _{k}$ apparaîtra plus tard, en relation avec la transformée de Fourier.

On utilise les notations sous forme de multi-indices : un multi-indice α {\displaystyle \alpha } $\alpha$ est un n {\displaystyle n} $n$ -uplet d'entiers

α = ( α 1 , … , α n ) ; α k ∈ N {\displaystyle \alpha \ =\ \left(\alpha _{1},\ \dots ,\ \alpha _{n}\right)\ ;\quad \ \alpha _{k}\,\in \,\mathbb {N} }

\alpha \ =\ \left(\alpha _{1},\ \dots ,\ \alpha _{n}\right)\ ;\quad \ \alpha _{k}\,\in \,\mathbb {N}

Sa longueur | α | {\displaystyle |\alpha |} $|\alpha |$ est définie comme la somme des α i {\displaystyle \alpha _{i}} $\alpha _{i}$ et on définit enfin la multi-factorielle :

α ! = ∏ k = 1 n ( α k ! ) = α 1 ! × … × α n ! {\displaystyle \alpha \,!\ =\ \prod _{k=1}^{n}(\,\alpha _{k}\,!\,)\ =\ \alpha _{1}\,!\ \times \ \dots \ \times \ \alpha _{n}\,!}

\alpha \,!\ =\ \prod _{k=1}^{n}(\,\alpha _{k}\,!\,)\ =\ \alpha _{1}\,!\ \times \ \dots \ \times \ \alpha _{n}\,!

Dérivées d'ordres plus élevés

La dérivée partielle d'ordre α k {\displaystyle \alpha _{k}} $\alpha _{k}$ par rapport à la coordonnée x k {\displaystyle x_{k}} $x_{k}$ correspond au symbole :

∂ k α k {\displaystyle \partial _{k}^{\alpha _{k}}}

\partial _{k}^{\alpha _{k}}

On définit alors les dérivées partielles, d'ordre global | α | {\displaystyle |\alpha |} $|\alpha |$ :

∂ α = ∂ 1 α 1 … ∂ n α n {\displaystyle \partial ^{\alpha }\ =\ \partial _{1}^{\alpha _{1}}\ \dots \ \partial _{n}^{\alpha _{n}}}

\partial ^{\alpha }\ =\ \partial _{1}^{\alpha _{1}}\ \dots \ \partial _{n}^{\alpha _{n}}

Et les opérateurs différentiels D α {\displaystyle \mathrm {D} ^{\alpha }} $\mathrm {D} ^{\alpha }$ , d'ordre global | α | {\displaystyle |\alpha |} $|\alpha |$ :

D α = D 1 α 1 … D n α n {\displaystyle \mathrm {D} ^{\alpha }\ =\ \mathrm {D} _{1}^{\alpha _{1}}\ \dots \ \mathrm {D} _{n}^{\alpha _{n}}}

\mathrm {D} ^{\alpha }\ =\ \mathrm {D} _{1}^{\alpha _{1}}\ \dots \ \mathrm {D} _{n}^{\alpha _{n}}

Définition d'un opérateur différentiel

Définition

Un opérateur différentiel linéaire d'ordre m {\displaystyle m} $m$ est défini par :

D = ∑ | α | = 0 m a α ( x ) D α {\displaystyle {\mathfrak {D}}\ =\ \sum _{|\alpha |=0}^{m}\ a_{\alpha }(x)\ \mathrm {D} ^{\alpha }}

{\mathfrak {D}}\ =\ \sum _{|\alpha |=0}^{m}\ a_{\alpha }(x)\ \mathrm {D} ^{\alpha }

où les a α ( x ) {\displaystyle a_{\alpha }(x)} $a_{\alpha }(x)$ sont des fonctions de n {\displaystyle n} $n$ variables, appelées coefficients de l'opérateur D {\displaystyle {\mathfrak {D}}} ${\mathfrak {D}}$ .

Propriété de localité

Un opérateur différentiel D {\displaystyle {\mathfrak {D}}} ${\mathfrak {D}}$ est local au sens où, pour déterminer ses effets D f ( x ) {\displaystyle {\mathfrak {D}}\,f(x)} ${\mathfrak {D}}\,f(x)$ sur une fonction f ( x ) {\displaystyle f(x)} $f(x)$ suffisamment différentiable, seule la connaissance de la fonction dans le voisinage du point x {\displaystyle x} $x$ est nécessaire.

Transformée de Fourier

Introduction de la transformée de Fourier

On définit ici la transformée de Fourier de la fonction f ( x ) {\displaystyle f(x)} $f(x)$ de n {\displaystyle n} $n$ variables x k ( k = 1 , . . . , n ) {\displaystyle x_{k}{\mbox{ }}(k=1,...,n)} $x_{k}{\mbox{ }}(k=1,...,n)$ par :

f ^ ( ξ ) = ∫ R n d x e − i ⟨ ξ , x ⟩ f ( x ) {\displaystyle {\hat {f}}(\xi )\ =\ \int _{\mathbb {R} ^{n}}\mathrm {d} x\ \mathrm {e} ^{-\,\mathrm {i} \,\langle \,\xi \,,\,x\,\rangle }\ f(x)}

{\hat {f}}(\xi )\ =\ \int _{\mathbb {R} ^{n}}\mathrm {d} x\ \mathrm {e} ^{-\,\mathrm {i} \,\langle \,\xi \,,\,x\,\rangle }\ f(x)

Dans cette définition :

on note ξ {\displaystyle \xi } $\xi$ le n {\displaystyle n} $n$ -uplet constitué des variables : ξ k ( k = 1 , . . . , n ) {\displaystyle \xi _{k}{\mbox{ }}(k=1,...,n)} $\xi _{k}{\mbox{ }}(k=1,...,n)$ .
la mesure est : d x = ∏ k = 1 n d x k {\displaystyle \mathrm {d} x=\prod _{k=1}^{n}\mathrm {d} x_{k}} $\mathrm {d} x=\prod _{k=1}^{n}\mathrm {d} x_{k}$ .
le facteur ⟨ ξ , x ⟩ {\displaystyle \langle \xi \,,\,x\rangle } $\langle \xi \,,\,x\rangle$ dans l'exponentielle oscillante désigne le produit scalaire : ⟨ ξ , x ⟩ = ∑ k = 1 n x k ξ k {\displaystyle \langle \xi \,,\,x\rangle =\sum _{k=1}^{n}x_{k}\,\xi _{k}} $\langle \xi \,,\,x\rangle =\sum _{k=1}^{n}x_{k}\,\xi _{k}$ .

La formule de transformation inverse s'écrit alors :

f ( x ) = ∫ R n d ξ ~ e + i ⟨ ξ , x ⟩ f ^ ( ξ ) {\displaystyle f(x)\ =\ \int _{\mathbb {R} ^{n}}\mathrm {d} {\tilde {\xi }}\ \mathrm {e} ^{+\,\mathrm {i} \,\langle \,\xi \,,\,x\,\rangle }\ {\hat {f}}(\xi )}

f(x)\ =\ \int _{\mathbb {R} ^{n}}\mathrm {d} {\tilde {\xi }}\ \mathrm {e} ^{+\,\mathrm {i} \,\langle \,\xi \,,\,x\,\rangle }\ {\hat {f}}(\xi )

où la mesure est : d ξ ~ = d ξ ( 2 π ) n {\displaystyle \mathrm {d} {\tilde {\xi }}\ =\ {\frac {\mathrm {d} \xi }{(2\pi )^{n}}}\quad } $\mathrm {d} {\tilde {\xi }}\ =\ {\frac {\mathrm {d} \xi }{(2\pi )^{n}}}\quad$ avec d ξ = ∏ k = 1 n d ξ k {\displaystyle \mathrm {d} \xi =\prod _{k=1}^{n}\mathrm {d} \xi _{k}} $\mathrm {d} \xi =\prod _{k=1}^{n}\mathrm {d} \xi _{k}$ .

Application aux opérateurs différentiels

On applique l'opérateur différentiel D k = − i ∂ k {\displaystyle \mathrm {D} _{k}=-\,\mathrm {i} \,\partial _{k}} $\mathrm {D} _{k}=-\,\mathrm {i} \,\partial _{k}$ à la représentation de Fourier de la fonction f {\displaystyle f} $f$ . En supposant qu'on puisse intervertir la dérivation et l'intégration, on obtient :

D k f ( x ) = ∫ R n d ξ ~ ( − i ∂ k e + i ⟨ ξ , x ⟩ ) f ^ ( ξ ) = ∫ R n d ξ ~ e + i ⟨ ξ , x ⟩ ξ k f ^ ( ξ ) {\displaystyle \mathrm {D} _{k}\,f(x)\ =\ \int _{\mathbb {R} ^{n}}\mathrm {d} {\tilde {\xi }}\ \left(\ -\ \mathrm {i} \ \partial _{k}\ \mathrm {e} ^{+\,\mathrm {i} \,\langle \,\xi \,,\,x\,\rangle }\ \right)\ {\hat {f}}(\xi )\ =\ \int _{\mathbb {R} ^{n}}\mathrm {d} {\tilde {\xi }}\ \mathrm {e} ^{+\,\mathrm {i} \,\langle \,\xi \,,\,x\,\rangle }\ \xi _{k}\ {\hat {f}}(\xi )}

\mathrm {D} _{k}\,f(x)\ =\ \int _{\mathbb {R} ^{n}}\mathrm {d} {\tilde {\xi }}\ \left(\ -\ \mathrm {i} \ \partial _{k}\ \mathrm {e} ^{+\,\mathrm {i} \,\langle \,\xi \,,\,x\,\rangle }\ \right)\ {\hat {f}}(\xi )\ =\ \int _{\mathbb {R} ^{n}}\mathrm {d} {\tilde {\xi }}\ \mathrm {e} ^{+\,\mathrm {i} \,\langle \,\xi \,,\,x\,\rangle }\ \xi _{k}\ {\hat {f}}(\xi )

qu'on peut écrire : ( D k f ^ ) ( ξ ) = ξ k f ^ ( ξ ) {\displaystyle ({\widehat {\mathrm {D} _{k}\,f}})(\xi )=\xi _{k}\ {\hat {f}}(\xi )} $({\widehat {\mathrm {D} _{k}\,f}})(\xi )=\xi _{k}\ {\hat {f}}(\xi )$ . On en déduit que :

( D α f ^ ) ( ξ ) = ξ α f ^ ( ξ ) {\displaystyle ({\widehat {\mathrm {D} ^{\alpha }\,f}})(\xi )\ =\ \xi ^{\alpha }\ {\hat {f}}(\xi )}

({\widehat {\mathrm {D} ^{\alpha }\,f}})(\xi )\ =\ \xi ^{\alpha }\ {\hat {f}}(\xi )

où : ξ α = ξ 1 α 1 × … × ξ n α n {\displaystyle \xi ^{\alpha }=\xi _{1}^{\alpha _{1}}\ \times \ \dots \ \times \ \xi _{n}^{\alpha _{n}}} $\xi ^{\alpha }=\xi _{1}^{\alpha _{1}}\ \times \ \dots \ \times \ \xi _{n}^{\alpha _{n}}$ . L'opérateur différentiel D {\displaystyle {\mathfrak {D}}} ${\mathfrak {D}}$ d'ordre m {\displaystyle m} $m$ vérifie donc la relation :

( D f ) ( x ) = ∑ | α | = 0 m a α ( x ) ∫ R n d ξ ~ e + i ⟨ ξ , x ⟩ ξ α f ^ ( ξ ) {\displaystyle ({\mathfrak {D}}\,f)(x)\ =\ \sum _{|\alpha |=0}^{m}\ a_{\alpha }(x)\ \int _{\mathbb {R} ^{n}}\mathrm {d} {\tilde {\xi }}\ \mathrm {e} ^{+\,\mathrm {i} \,\langle \,\xi \,,\,x\,\rangle }\ \xi ^{\alpha }\ {\hat {f}}(\xi )}

({\mathfrak {D}}\,f)(x)\ =\ \sum _{|\alpha |=0}^{m}\ a_{\alpha }(x)\ \int _{\mathbb {R} ^{n}}\mathrm {d} {\tilde {\xi }}\ \mathrm {e} ^{+\,\mathrm {i} \,\langle \,\xi \,,\,x\,\rangle }\ \xi ^{\alpha }\ {\hat {f}}(\xi )

On peut intervertir la somme et l'intégrale pour écrire :

( D f ) ( x ) = ∫ R n d ξ ~ e + i ⟨ ξ , x ⟩ ( ∑ | α | = 0 m a α ( x ) ξ α ) f ^ ( ξ ) {\displaystyle ({\mathfrak {D}}\,f)(x)\ =\ \int _{\mathbb {R} ^{n}}\mathrm {d} {\tilde {\xi }}\ \mathrm {e} ^{+\,\mathrm {i} \,\langle \,\xi \,,\,x\,\rangle }\ \left(\ \sum _{|\alpha |=0}^{m}\ a_{\alpha }(x)\ \xi ^{\alpha }\ \right)\ {\hat {f}}(\xi )}

({\mathfrak {D}}\,f)(x)\ =\ \int _{\mathbb {R} ^{n}}\mathrm {d} {\tilde {\xi }}\ \mathrm {e} ^{+\,\mathrm {i} \,\langle \,\xi \,,\,x\,\rangle }\ \left(\ \sum _{|\alpha |=0}^{m}\ a_{\alpha }(x)\ \xi ^{\alpha }\ \right)\ {\hat {f}}(\xi )

Symbole d'un opérateur différentiel

Article détaillé : Symbole d'un opérateur différentiel.

On appelle symbole de l'opérateur différentiel D {\displaystyle {\mathfrak {D}}} ${\mathfrak {D}}$ d'ordre m {\displaystyle m} $m$ la fonction σ ( x , ξ ) {\displaystyle \sigma (x,\xi )} $\sigma (x,\xi )$ des 2 n {\displaystyle 2n} $2n$ variables ( x , ξ ) {\displaystyle (x,\xi )} $(x,\xi )$ polynomiale en ξ {\displaystyle \xi } $\xi$ de degré m {\displaystyle m} $m$ :

σ ( x , ξ ) = ∑ | α | = 0 m a α ( x ) ξ α {\displaystyle \sigma (x,\xi )=\sum _{|\alpha |=0}^{m}\ a_{\alpha }(x)\ \xi ^{\alpha }}

\sigma (x,\xi )=\sum _{|\alpha |=0}^{m}\ a_{\alpha }(x)\ \xi ^{\alpha }

de telle sorte que :

( D f ) ( x ) = ∫ R n d ξ ~ e + i ⟨ ξ , x ⟩ σ ( x , ξ ) f ^ ( ξ ) {\displaystyle ({\mathfrak {D}}\,f)(x)\ =\ \int _{\mathbb {R} ^{n}}\mathrm {d} {\tilde {\xi }}\ \mathrm {e} ^{+\,\mathrm {i} \,\langle \,\xi \,,\,x\,\rangle }\ \sigma (x,\xi )\ {\hat {f}}(\xi )}

({\mathfrak {D}}\,f)(x)\ =\ \int _{\mathbb {R} ^{n}}\mathrm {d} {\tilde {\xi }}\ \mathrm {e} ^{+\,\mathrm {i} \,\langle \,\xi \,,\,x\,\rangle }\ \sigma (x,\xi )\ {\hat {f}}(\xi )

On constate que cette formule pourrait en fait permettre de définir l'opérateur D {\displaystyle {\mathfrak {D}}} ${\mathfrak {D}}$ à partir de son symbole σ {\displaystyle \sigma } $\sigma$ . Cette idée sera mise à profit dans la théorie des opérateurs pseudo-différentiels.

Attention : pour un opérateur différentiel dont les coefficients a α ( x ) {\displaystyle a_{\alpha }(x)} $a_{\alpha }(x)$ ne sont pas constants, le symbole σ ( x , ξ ) {\displaystyle \sigma (x,\xi )} $\sigma (x,\xi )$ dépend des coordonnées d'espace x {\displaystyle x} $x$ , et l'expression σ ( x , ξ ) f ^ ( ξ ) {\displaystyle \sigma (x,\xi )\,{\hat {f}}(\xi )} $\sigma (x,\xi )\,{\hat {f}}(\xi )$ n'est pas la transformée de Fourier de ( D f ) ( x ) {\displaystyle ({\mathfrak {D}}\,f)(x)} $({\mathfrak {D}}\,f)(x)$ , c’est-à-dire que :

( D f ^ ) ( ξ ) ≠ σ ( x , ξ ) f ^ ( ξ ) {\displaystyle ({\widehat {{\mathfrak {D}}\,f}})(\xi )\ \neq \ \sigma (x,\xi )\ {\hat {f}}(\xi )}

({\widehat {{\mathfrak {D}}\,f}})(\xi )\ \neq \ \sigma (x,\xi )\ {\hat {f}}(\xi )

La formule correcte de la transformée de Fourier est calculée dans le paragraphe « Cas général ».

Symbole principal d'un opérateur différentiel

On appelle symbole principal de l'opérateur différentiel D {\displaystyle {\mathfrak {D}}} ${\mathfrak {D}}$ d'ordre m {\displaystyle m} $m$ la fonction :

σ m ( x , ξ ) = ∑ | α | = m a α ( x ) ξ α {\displaystyle \sigma _{m}(x,\xi )=\sum _{|\alpha |=m}\ a_{\alpha }(x)\ \xi ^{\alpha }}

\sigma _{m}(x,\xi )=\sum _{|\alpha |=m}\ a_{\alpha }(x)\ \xi ^{\alpha }

Classification des opérateurs différentiels

Opérateur elliptique

Article détaillé : Opérateur elliptique.

L'opérateur différentiel D {\displaystyle {\mathfrak {D}}} ${\mathfrak {D}}$ est dit elliptique au point x ∈ Ω {\displaystyle x\ \in \ \Omega } $x\ \in \ \Omega$ si et seulement si :

∀ ξ ∈ R n ∖ { 0 } , σ m ( x , ξ ) ≠ 0 {\displaystyle \forall \ \xi \ \in \ \mathbb {R} ^{n}\backslash \{0\}\ ,\quad \sigma _{m}(x,\xi )\ \neq \ 0}

\forall \ \xi \ \in \ \mathbb {R} ^{n}\backslash \{0\}\ ,\quad \sigma _{m}(x,\xi )\ \neq \ 0

D {\displaystyle {\mathfrak {D}}} ${\mathfrak {D}}$ est dit elliptique dans Ω {\displaystyle \Omega } $\Omega$ s'il est elliptique pour tout point x ∈ Ω {\displaystyle x\ \in \ \Omega } $x\ \in \ \Omega$ .

Opérateur hyperbolique

L'opérateur différentiel D {\displaystyle {\mathfrak {D}}} ${\mathfrak {D}}$ est dit hyperbolique dans la direction η {\displaystyle \eta } $\eta$ au point x ∈ Ω {\displaystyle x\ \in \ \Omega } $x\ \in \ \Omega$ si et seulement si : σ m ( x , η ) ≠ 0 {\displaystyle \sigma _{m}(x,\eta )\neq 0} $\sigma _{m}(x,\eta )\neq 0$ et si, pour tout ξ {\displaystyle \xi } $\xi$ non colinéaire à η {\displaystyle \eta } $\eta$ , les racines λ i {\displaystyle \lambda _{i}} $\lambda _{i}$ de l'équation :

σ m ( x , ξ + λ η ) = 0 {\displaystyle \sigma _{m}(x,\ \xi \ +\ \lambda \,\eta )\ =\ 0}

\sigma _{m}(x,\ \xi \ +\ \lambda \,\eta )\ =\ 0

sont toutes réelles. Si, de plus, les m {\displaystyle m} $m$ racines réelles sont toutes distinctes, l'opérateur D {\displaystyle {\mathfrak {D}}} ${\mathfrak {D}}$ est dit strictement hyperbolique dans la direction η {\displaystyle \eta } $\eta$ .

D {\displaystyle {\mathfrak {D}}} ${\mathfrak {D}}$ est dit (strictement) hyperbolique dans la direction η {\displaystyle \eta } $\eta$ dans Ω {\displaystyle \Omega } $\Omega$ s'il est strictement hyperbolique dans la direction η {\displaystyle \eta } $\eta$ pour tout point x ∈ Ω {\displaystyle x\ \in \ \Omega } $x\ \in \ \Omega$ .

Exemples importants pour la physique théorique

La physique théorique fait un usage abondant de trois opérateurs d'ordre 2 :

Opérateur laplacien

L'opérateur laplacien est un opérateur elliptique, qui s'écrit :

en coordonnées cartésiennes dans R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} $\mathbb {R} ^{n}$ : Δ = ∑ k = 1 n ∂ 2 ∂ x k 2 {\displaystyle \Delta \ =\ \sum _{k=1}^{n}\ {\frac {\partial ^{2}~~}{\partial x_{k}^{2}}}} $\Delta \ =\ \sum _{k=1}^{n}\ {\frac {\partial ^{2}~~}{\partial x_{k}^{2}}}$
soit en coordonnées cartésiennes tridimensionnelles : Δ = ∂ 2 ∂ x 2 + ∂ 2 ∂ y 2 + ∂ 2 ∂ z 2 {\displaystyle \Delta \ =\ {\frac {\partial ^{2}~~}{\partial x^{2}}}\ +\ {\frac {\partial ^{2}~~}{\partial y^{2}}}\ +\ {\frac {\partial ^{2}~~}{\partial z^{2}}}} $\Delta \ =\ {\frac {\partial ^{2}~~}{\partial x^{2}}}\ +\ {\frac {\partial ^{2}~~}{\partial y^{2}}}\ +\ {\frac {\partial ^{2}~~}{\partial z^{2}}}$

Cet opérateur est notamment utilisé en mécanique newtonienne, en électromagnétisme, et en mécanique quantique non relativiste.

Opérateur d'alembertien

L'opérateur d'alembertien est un opérateur hyperbolique, qui s'écrit en coordonnées cartésiennes ( x , t ) {\displaystyle (x,t)} $(x,t)$ dans R n + 1 {\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}} $\mathbb {R} ^{n+1}$ :

◻ = 1 c 2 ∂ 2 ∂ t 2 − Δ {\displaystyle \Box \ =\ {\frac {1}{c^{2}}}\ {\frac {\partial ^{2}~~}{\partial t^{2}}}\ -\ \Delta }

\Box \ =\ {\frac {1}{c^{2}}}\ {\frac {\partial ^{2}~~}{\partial t^{2}}}\ -\ \Delta

où Δ {\displaystyle \Delta } $\Delta$ est le laplacien à n {\displaystyle n} $n$ variables d'espace, t {\displaystyle t} $t$ est le temps, et c {\displaystyle c} $c$ une constante positive, homogène à une vitesse. Cet opérateur est utilisé pour décrire la propagation des ondes à la vitesse c {\displaystyle c} $c$ dans l'espace-temps. Il est notamment utilisé en acoustique, en électromagnétisme, et en théorie quantique des champs.

Opérateur de la chaleur

L'opérateur de la chaleur, qui s'écrit en coordonnées cartésiennes ( x , t ) {\displaystyle (x,t)} $(x,t)$ dans R n + 1 {\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}} $\mathbb {R} ^{n+1}$ :

∂ ∂ t − D ~ Δ {\displaystyle {\frac {\partial ~}{\partial t}}\ -\ {\tilde {D}}\ \Delta }

{\frac {\partial ~}{\partial t}}\ -\ {\tilde {D}}\ \Delta

où Δ {\displaystyle \Delta } $\Delta$ est le laplacien à n {\displaystyle n} $n$ variables d'espace, t {\displaystyle t} $t$ est le temps, et D ~ {\displaystyle {\tilde {D}}} ${\tilde {D}}$ est ici une constante, appelée coefficient de diffusion. Cet opérateur est dit parabolique.

Article connexe : équation de la chaleur.

Opérateur différentiel à coefficients constants

Si les coefficients a α {\displaystyle a_{\alpha }} $a_{\alpha }$ sont indépendants des n {\displaystyle n} $n$ variables d'espace x k {\displaystyle x^{k}} $x^{k}$ , le symbole de l'opérateur différentiel D {\displaystyle {\mathfrak {D}}} ${\mathfrak {D}}$ d'ordre m {\displaystyle m} $m$ est seulement une fonction σ ( ξ ) {\displaystyle \sigma (\xi )} $\sigma (\xi )$ des n {\displaystyle n} $n$ variables ξ {\displaystyle \xi } $\xi$ polynomiale en ξ {\displaystyle \xi } $\xi$ :

σ ( ξ ) = ∑ | α | = 0 m a α ξ α {\displaystyle \sigma (\xi )=\sum _{|\alpha |=0}^{m}\ a_{\alpha }\ \xi ^{\alpha }}

\sigma (\xi )=\sum _{|\alpha |=0}^{m}\ a_{\alpha }\ \xi ^{\alpha }

de telle sorte que :

( D f ^ ) ( ξ ) = σ ( ξ ) f ^ ( ξ ) {\displaystyle ({\widehat {{\mathfrak {D}}\,f}})(\xi )\ =\ \sigma (\xi )\ {\hat {f}}(\xi )}

({\widehat {{\mathfrak {D}}\,f}})(\xi )\ =\ \sigma (\xi )\ {\hat {f}}(\xi )

Le symbole principal de l'opérateur différentiel D {\displaystyle {\mathfrak {D}}} ${\mathfrak {D}}$ d'ordre m {\displaystyle m} $m$ à coefficients constants est la fonction des n {\displaystyle n} $n$ variables ξ {\displaystyle \xi } $\xi$ :

σ m ( ξ ) = ∑ | α | = m a α ξ α {\displaystyle \sigma _{m}(\xi )=\sum _{|\alpha |=m}\ a_{\alpha }\ \xi ^{\alpha }}

\sigma _{m}(\xi )=\sum _{|\alpha |=m}\ a_{\alpha }\ \xi ^{\alpha }

Cas général

On a vu que plus haut :

({\mathfrak {D}}\,f)(x)\ =\ \int _{\mathbb {R} ^{n}}\mathrm {d} {\tilde {\xi }}\ \mathrm {e} ^{+\,\mathrm {i} \,\langle \,\xi \,,\,x\,\rangle }\ \sigma (x,\xi )\ {\hat {f}}(\xi )

Pour un opérateur différentiel dont les coefficients a α ( x ) {\displaystyle a_{\alpha }(x)} $a_{\alpha }(x)$ ne sont pas constants, le symbole σ ( x , ξ ) {\displaystyle \sigma (x,\xi )} $\sigma (x,\xi )$ dépend des coordonnées d'espace x {\displaystyle x} $x$ , et on a :

( D f ^ ) ( ξ ) ≠ σ ( x , ξ ) f ^ ( ξ ) {\displaystyle ({\widehat {{\mathfrak {D}}\,f}})(\xi )\ \neq \ \sigma (x,\xi )\ {\hat {f}}(\xi )}

({\widehat {{\mathfrak {D}}\,f}})(\xi )\ \neq \ \sigma (x,\xi )\ {\hat {f}}(\xi )

Expression de la transformée de Fourier

Partons de la relation générale :

({\mathfrak {D}}\,f)(x)\ =\ \sum _{|\alpha |=0}^{m}\ a_{\alpha }(x)\ \int _{\mathbb {R} ^{n}}\mathrm {d} {\tilde {\xi }}\ \mathrm {e} ^{+\,\mathrm {i} \,\langle \,\xi \,,\,x\,\rangle }\ \xi ^{\alpha }\ {\hat {f}}(\xi )

Si l'on introduit la transformée de Fourier des coefficients :

a α ( x ) = ∫ R n d η ~ e + i ⟨ η , x ⟩ a ^ α ( η ) {\displaystyle a_{\alpha }(x)\ =\ \int _{\mathbb {R} ^{n}}\mathrm {d} {\tilde {\eta }}\ \mathrm {e} ^{+\,\mathrm {i} \,\langle \,\eta \,,\,x\,\rangle }\ {\hat {a}}_{\alpha }(\eta )}

a_{\alpha }(x)\ =\ \int _{\mathbb {R} ^{n}}\mathrm {d} {\tilde {\eta }}\ \mathrm {e} ^{+\,\mathrm {i} \,\langle \,\eta \,,\,x\,\rangle }\ {\hat {a}}_{\alpha }(\eta )

on obtient :

( D f ) ( x ) = ∑ | α | = 0 m ∫ R n d η ~ e + i ⟨ η , x ⟩ a ^ α ( η ) × ∫ R n d ξ ~ e + i ⟨ ξ , x ⟩ ξ α f ^ ( ξ ) {\displaystyle ({\mathfrak {D}}\,f)(x)\ =\ \sum _{|\alpha |=0}^{m}\ \int _{\mathbb {R} ^{n}}\mathrm {d} {\tilde {\eta }}\ \mathrm {e} ^{+\,\mathrm {i} \,\langle \,\eta \,,\,x\,\rangle }\ {\hat {a}}_{\alpha }(\eta )\ \times \ \int _{\mathbb {R} ^{n}}\mathrm {d} {\tilde {\xi }}\ \mathrm {e} ^{+\,\mathrm {i} \,\langle \,\xi \,,\,x\,\rangle }\ \xi ^{\alpha }\ {\hat {f}}(\xi )}

({\mathfrak {D}}\,f)(x)\ =\ \sum _{|\alpha |=0}^{m}\ \int _{\mathbb {R} ^{n}}\mathrm {d} {\tilde {\eta }}\ \mathrm {e} ^{+\,\mathrm {i} \,\langle \,\eta \,,\,x\,\rangle }\ {\hat {a}}_{\alpha }(\eta )\ \times \ \int _{\mathbb {R} ^{n}}\mathrm {d} {\tilde {\xi }}\ \mathrm {e} ^{+\,\mathrm {i} \,\langle \,\xi \,,\,x\,\rangle }\ \xi ^{\alpha }\ {\hat {f}}(\xi )

soit :

( D f ) ( x ) = ∑ | α | = 0 m ∫ R n d η ~ ∫ R n d ξ ~ e + i ⟨ ξ , x ⟩ a ^ α ( η ) ξ α f ^ ( ξ ) {\displaystyle ({\mathfrak {D}}\,f)(x)\ =\ \sum _{|\alpha |=0}^{m}\ \int _{\mathbb {R} ^{n}}\mathrm {d} {\tilde {\eta }}\ \int _{\mathbb {R} ^{n}}\mathrm {d} {\tilde {\xi }}\ \mathrm {e} ^{+\,\mathrm {i} \,\langle \,\xi \,,\,x\,\rangle }\ {\hat {a}}_{\alpha }(\eta )\ \xi ^{\alpha }\ {\hat {f}}(\xi )}

({\mathfrak {D}}\,f)(x)\ =\ \sum _{|\alpha |=0}^{m}\ \int _{\mathbb {R} ^{n}}\mathrm {d} {\tilde {\eta }}\ \int _{\mathbb {R} ^{n}}\mathrm {d} {\tilde {\xi }}\ \mathrm {e} ^{+\,\mathrm {i} \,\langle \,\xi \,,\,x\,\rangle }\ {\hat {a}}_{\alpha }(\eta )\ \xi ^{\alpha }\ {\hat {f}}(\xi )

A ξ {\displaystyle \xi } $\xi$ fixé, on fait le changement de variable : η → t = ξ + η {\displaystyle \eta \to t=\xi +\eta } $\eta \to t=\xi +\eta$ , ce qui donne :

( D f ) ( x ) = ∑ | α | = 0 m ∫ R n d t ~ e + i ⟨ ξ , x ⟩ ∫ R n d ξ ~ a ^ α ( t − ξ ) ξ α f ^ ( ξ ) {\displaystyle ({\mathfrak {D}}\,f)(x)\ =\ \sum _{|\alpha |=0}^{m}\ \int _{\mathbb {R} ^{n}}\mathrm {d} {\tilde {t}}\ \mathrm {e} ^{+\,\mathrm {i} \,\langle \,\xi \,,\,x\,\rangle }\ \int _{\mathbb {R} ^{n}}\mathrm {d} {\tilde {\xi }}\ {\hat {a}}_{\alpha }(t-\xi )\ \xi ^{\alpha }\ {\hat {f}}(\xi )}

({\mathfrak {D}}\,f)(x)\ =\ \sum _{|\alpha |=0}^{m}\ \int _{\mathbb {R} ^{n}}\mathrm {d} {\tilde {t}}\ \mathrm {e} ^{+\,\mathrm {i} \,\langle \,\xi \,,\,x\,\rangle }\ \int _{\mathbb {R} ^{n}}\mathrm {d} {\tilde {\xi }}\ {\hat {a}}_{\alpha }(t-\xi )\ \xi ^{\alpha }\ {\hat {f}}(\xi )

On reconnait le produit de convolution :

( a ^ α ∗ ξ α f ^ ) ( t ) = ∫ R n d ξ ~ a ^ α ( t − ξ ) ξ α f ^ ( ξ ) {\displaystyle \left(\,{\hat {a}}_{\alpha }\ *\ \xi ^{\alpha }\ {\hat {f}}\,\right)(t)\ =\ \int _{\mathbb {R} ^{n}}\mathrm {d} {\tilde {\xi }}\ {\hat {a}}_{\alpha }(t-\xi )\ \xi ^{\alpha }\ {\hat {f}}(\xi )}

\left(\,{\hat {a}}_{\alpha }\ *\ \xi ^{\alpha }\ {\hat {f}}\,\right)(t)\ =\ \int _{\mathbb {R} ^{n}}\mathrm {d} {\tilde {\xi }}\ {\hat {a}}_{\alpha }(t-\xi )\ \xi ^{\alpha }\ {\hat {f}}(\xi )

d'où :

( D f ) ( x ) = ∑ | α | = 0 m ∫ R n d t ~ e + i ⟨ ξ , x ⟩ ( a ^ α ∗ ξ α f ^ ) ( t ) {\displaystyle ({\mathfrak {D}}\,f)(x)\ =\ \sum _{|\alpha |=0}^{m}\ \int _{\mathbb {R} ^{n}}\mathrm {d} {\tilde {t}}\ \mathrm {e} ^{+\,\mathrm {i} \,\langle \,\xi \,,\,x\,\rangle }\ \left(\,{\hat {a}}_{\alpha }\ *\ \xi ^{\alpha }\ {\hat {f}}\,\right)(t)}

({\mathfrak {D}}\,f)(x)\ =\ \sum _{|\alpha |=0}^{m}\ \int _{\mathbb {R} ^{n}}\mathrm {d} {\tilde {t}}\ \mathrm {e} ^{+\,\mathrm {i} \,\langle \,\xi \,,\,x\,\rangle }\ \left(\,{\hat {a}}_{\alpha }\ *\ \xi ^{\alpha }\ {\hat {f}}\,\right)(t)

qu'on peut réécrire :

( D f ^ ) ( ξ ) = ∑ | α | = 0 m ( a ^ α ∗ ξ α f ^ ) ( ξ ) {\displaystyle ({\widehat {{\mathfrak {D}}\,f}})(\xi )\ =\ \sum _{|\alpha |=0}^{m}\ \left(\,{\hat {a}}_{\alpha }\ *\ \xi ^{\alpha }\ {\hat {f}}\,\right)(\xi )}

({\widehat {{\mathfrak {D}}\,f}})(\xi )\ =\ \sum _{|\alpha |=0}^{m}\ \left(\,{\hat {a}}_{\alpha }\ *\ \xi ^{\alpha }\ {\hat {f}}\,\right)(\xi )

Notes et références

(en) E. W. Weisstein, « Theta Operator » (consulté le 12 juin 2009)

Voir aussi

Bibliographie

(en) Lars Hörmander, The Analysis of Linear Partial Differential Operators, Springer-Verlag, 1983-1985. Traité de référence en quatre volumes, par le récipiendaire de la médaille Fields 1962. Le volume I est sous-titré : Distribution theory and Fourier analysis, et le volume II : Differential operators with constant coefficients. Les volumes III et IV sont consacrés à la théorie moderne via les opérateurs pseudo-différentiels.
(en) Lars Hörmander, Linear Partial Differential Operators, Springer-Verlag, 1963. Ce livre contient les travaux pour lesquels l'auteur a obtenu la médaille Fields en 1962.
(en) Yu. V. Egorov et M. A. Shubin (en), Foundations of the Classical Theory of Partial Differential Equations, Springer-Verlag, 2e éd., 1998 (ISBN 3-540-63825-3). Premier volume d'une série qui en comporte neuf, écrits pour l'Encyclopaedia of Mathematical Sciences. Les volumes suivants sont consacrés à la théorie moderne via les opérateurs pseudo-différentiels.
(en) Michael E. Taylor (en), Partial Differential Equations - Basic Theory, coll. « Texts in Applied Mathematics » (no 23), Springer-Verlag, 2e éd., 1999 (ISBN 0-387-94654-3). Premier volume d'une série qui en comporte trois. Les volumes suivants sont consacrés à la théorie moderne via les opérateurs pseudo-différentiels.