Opérateur pseudo-différentiel

En analyse mathématique, un opérateur pseudo-différentiel est une extension du concept familier d'opérateur différentiel, permettant notamment l'inclusion d'ordres de dérivation non entiers. Ces opérateurs pseudo-différentiels sont abondamment utilisés dans la théorie des équations aux dérivées partielles et en théorie quantique des champs.

Rappels et notations

On reprend ci-dessous les notations introduites dans l'article opérateur différentiel.

Opérateur différentiel

Rappelons qu'un opérateur différentiel linéaire d'ordre m {\displaystyle m} $m$ s'écrit :

D = ∑ | α | = 0 m a α ( x ) D α {\displaystyle {\mathfrak {D}}=\sum _{|\alpha |=0}^{m}a_{\alpha }(x)D^{\alpha }}

{\mathfrak {D}}=\sum _{|\alpha |=0}^{m}a_{\alpha }(x)D^{\alpha }

où les a α ( x ) {\displaystyle a_{\alpha }(x)} $a_{\alpha }(x)$ , appelées coefficients de l'opérateur D {\displaystyle {\mathfrak {D}}} ${\mathfrak {D}}$ , sont des fonctions des n {\displaystyle n} $n$ variables d'espace x k , k = 1 , … , n {\displaystyle x^{k},k=1,\dots ,n} $x^{k},k=1,\dots ,n$ .

Introduction de la transformée de Fourier

Définition

On définit ici la transformée de Fourier de la fonction f {\displaystyle f} $f$ de n {\displaystyle n} $n$ variables par :

f ^ ( ξ ) = ∫ e − i ξ ⋅ x f ( x ) d x {\displaystyle {\hat {f}}(\xi )=\int \mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \xi \cdot x}f(x)\;\mathrm {d} x}

{\hat {f}}(\xi )=\int \mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \xi \cdot x}f(x)\;\mathrm {d} x

La formule de transformation inverse s'écrit alors :

f ( x ) = 1 ( 2 π ) n ∫ e + i ξ ⋅ x f ^ ( ξ ) d ξ {\displaystyle f(x)={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int \mathrm {e} ^{+\mathrm {i} \xi \cdot x}{\hat {f}}(\xi )\;\mathrm {d} \xi }

f(x)={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int \mathrm {e} ^{+\mathrm {i} \xi \cdot x}{\hat {f}}(\xi )\;\mathrm {d} \xi

. Application aux opérateurs différentiels

Le symbole de l'opérateur différentiel D {\displaystyle {\mathfrak {D}}} ${\mathfrak {D}}$ d'ordre m {\displaystyle m} $m$ est la fonction σ ( x , ξ ) {\displaystyle \sigma (x,\xi )} $\sigma (x,\xi )$ des 2 n {\displaystyle 2n} $2n$ variables ( x , ξ ) {\displaystyle (x,\xi )} $(x,\xi )$ polynomiale en ξ {\displaystyle \xi } $\xi$ :

σ ( x , ξ ) = ∑ | α | = 0 m a α ( x ) ξ α {\displaystyle \sigma (x,\xi )=\sum _{|\alpha |=0}^{m}a_{\alpha }(x)\xi ^{\alpha }}

\sigma (x,\xi )=\sum _{|\alpha |=0}^{m}a_{\alpha }(x)\xi ^{\alpha }

L'opérateur différentiel D {\displaystyle {\mathfrak {D}}} ${\mathfrak {D}}$ linéaire d'ordre m {\displaystyle m} $m$ vérifie alors la relation :

( D f ) ( x ) = ∫ d ξ ( 2 π ) n e + i ξ ⋅ x σ ( x , ξ ) f ^ ( ξ ) {\displaystyle ({\mathfrak {D}}f)(x)=\int {\frac {\mathrm {d} \xi }{(2\pi )^{n}}}\mathrm {e} ^{+\mathrm {i} \xi \cdot x}\sigma (x,\xi ){\hat {f}}(\xi )}

({\mathfrak {D}}f)(x)=\int {\frac {\mathrm {d} \xi }{(2\pi )^{n}}}\mathrm {e} ^{+\mathrm {i} \xi \cdot x}\sigma (x,\xi ){\hat {f}}(\xi )

On constate que cette formule pourrait en fait permettre de définir l'opérateur D {\displaystyle {\mathfrak {D}}} ${\mathfrak {D}}$ à partir de son symbole σ ( x , ξ ) {\displaystyle \sigma (x,\xi )} $\sigma (x,\xi )$ . Nous allons mettre cette idée à profit dans le paragraphe suivant.

Introduction : opérateur pseudo-différentiel à coefficients constants

Opérateur différentiel à coefficients constants

Si les coefficients a α {\displaystyle a_{\alpha }} $a_{\alpha }$ de l'opérateur différentiel D {\displaystyle {\mathfrak {D}}} ${\mathfrak {D}}$ d'ordre m {\displaystyle m} $m$ sont indépendants des n {\displaystyle n} $n$ variables d'espace x k {\displaystyle x^{k}} $x^{k}$ , son symbole est seulement une fonction σ ( ξ ) {\displaystyle \sigma (\xi )} $\sigma (\xi )$ des n {\displaystyle n} $n$ variables ξ {\displaystyle \xi } $\xi$ polynomiale en ξ {\displaystyle \xi } $\xi$ :

σ ( ξ ) = ∑ | α | = 0 m a α ξ α {\displaystyle \sigma (\xi )=\sum _{|\alpha |=0}^{m}a_{\alpha }\xi ^{\alpha }}

\sigma (\xi )=\sum _{|\alpha |=0}^{m}a_{\alpha }\xi ^{\alpha }

de telle sorte que :

( D f ) ( x ) = ∫ d ξ ( 2 π ) n e + i ξ x σ ( ξ ) f ^ ( ξ ) {\displaystyle ({\mathfrak {D}}f)(x)=\int {\frac {\mathrm {d} \xi }{(2\pi )^{n}}}\mathrm {e} ^{+\mathrm {i} \xi x}\sigma (\xi ){\hat {f}}(\xi )}

({\mathfrak {D}}f)(x)=\int {\frac {\mathrm {d} \xi }{(2\pi )^{n}}}\mathrm {e} ^{+\mathrm {i} \xi x}\sigma (\xi ){\hat {f}}(\xi )

soit encore, en utilisant la transformation de Fourier inverse :

( D f ^ ) ( ξ ) = σ ( ξ ) f ^ ( ξ ) {\displaystyle ({\widehat {{\mathfrak {D}}f}})(\xi )=\sigma (\xi ){\hat {f}}(\xi )}

({\widehat {{\mathfrak {D}}f}})(\xi )=\sigma (\xi ){\hat {f}}(\xi )

Définition : opérateur pseudo-différentiel à coefficients constants

Soit une fonction p {\displaystyle p} $p$ des n {\displaystyle n} $n$ variables ξ {\displaystyle \xi } $\xi$ . On associe à cette fonction un opérateur pseudo-différentiel P D {\displaystyle P_{D}} $P_{D}$ à coefficients constants, dont l'action sur une fonction f {\displaystyle f} $f$ est définie par l'intégrale suivante :

( P D f ) ( x ) = ∫ d ξ ( 2 π ) n e + i ξ ⋅ x p ( ξ ) f ^ ( ξ ) {\displaystyle (P_{D}f)(x)=\int {\frac {\mathrm {d} \xi }{(2\pi )^{n}}}\mathrm {e} ^{+\mathrm {i} \xi \cdot x}p(\xi ){\hat {f}}(\xi )}

(P_{D}f)(x)=\int {\frac {\mathrm {d} \xi }{(2\pi )^{n}}}\mathrm {e} ^{+\mathrm {i} \xi \cdot x}p(\xi ){\hat {f}}(\xi )

Pour que l'intégrale ait un sens, il faut que le symbole p ( ξ ) {\displaystyle p(\xi )} $p(\xi )$ présente quelques « bonnes » propriétés :

la fonction p ( ξ ) {\displaystyle p(\xi )} $p(\xi )$ doit être lisse ;
la fonction p ( ξ ) {\displaystyle p(\xi )} $p(\xi )$ doit avoir une croissance tempérée lorsque | ξ | → ∞ {\displaystyle |\xi |\to \infty } $|\xi |\to \infty$ , cette croissance tempérée devant de plus s'améliorer par dérivation. Par analogie avec le cas d'un opérateur différentiel d'ordre m {\displaystyle m} $m$ , où cette croissance est polynomiale, on est amené à demander ici qu'il existe un nombre m {\displaystyle m} $m$ tel que :

∀ α | ∂ ξ α p ( ξ ) | ≤ C α ( 1 + | ξ | ) m − | α | {\displaystyle \forall \alpha \quad \left|\partial _{\xi }^{\alpha }p(\xi )\right|\leq C_{\alpha }\left(1+|\xi |\right)^{m-|\alpha |}}

\forall \alpha \quad \left|\partial _{\xi }^{\alpha }p(\xi )\right|\leq C_{\alpha }\left(1+|\xi |\right)^{m-|\alpha |}

où les C α {\displaystyle C_{\alpha }} $C_{\alpha }$ sont des constantes, qui peuvent dépendre de α {\displaystyle \alpha } $\alpha$ .

Calcul symbolique exact

Soient P 1 {\displaystyle P_{1}} $P_{1}$ et P 2 {\displaystyle P_{2}} $P_{2}$ deux opérateurs pseudo-différentiels à coefficients constants, définis respectivement par les symboles p 1 ( ξ ) {\displaystyle p_{1}(\xi )} $p_{1}(\xi )$ et p 2 ( ξ ) {\displaystyle p_{2}(\xi )} $p_{2}(\xi )$ . Alors, l'opérateur P = P 1 P 2 {\displaystyle P=P_{1}P_{2}} $P=P_{1}P_{2}$ est encore un opérateur pseudo-différentiel à coefficients constants, dont le symbole est le produit p 1 ( ξ ) p 2 ( ξ ) {\displaystyle p_{1}(\xi )p_{2}(\xi )} $p_{1}(\xi )p_{2}(\xi )$ .

Opérateur pseudo-différentiel : cas général

Définition

Soit une fonction p ( x , ξ ) {\displaystyle p(x,\xi )} $p(x,\xi )$ des 2 n {\displaystyle 2n} $2n$ variables ( x , ξ ) {\displaystyle (x,\xi )} $(x,\xi )$ . On associe à cette fonction un opérateur pseudo-différentiel P D {\displaystyle P_{D}} $P_{D}$ , dont l'action sur une fonction f {\displaystyle f} $f$ est définie par l'intégrale suivante :

( P D f ) ( x ) = 1 ( 2 π ) n ∫ e + i ξ ⋅ x p ( x , ξ ) f ^ ( ξ ) d ξ {\displaystyle (P_{D}f)(x)={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int \mathrm {e} ^{+\mathrm {i} \xi \cdot x}p(x,\xi ){\hat {f}}(\xi )\;\mathrm {d} \xi }

(P_{D}f)(x)={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int \mathrm {e} ^{+\mathrm {i} \xi \cdot x}p(x,\xi ){\hat {f}}(\xi )\;\mathrm {d} \xi

Remarque : on note parfois cet opérateur pseudo-différentiel à partir de son symbole de la façon suivante : P D = p ( x , D ) {\displaystyle P_{D}=p(x,D)} $P_{D}=p(x,D)$ . Il existe une autre définition, celle de Weyl:

( O p ( a ) f ) ( t ) = ( 2 π ) − n ∫ R 2 n a ( t + y 2 , ξ ) f ( y ) e i ξ ⋅ ( t − y ) d y d ξ . {\displaystyle (Op(a)f)(t)=(2\pi )^{-n}\int _{\mathbb {R} ^{2n}}a\left({\frac {t+y}{2}},\xi \right)f(y)e^{i\xi \cdot (t-y)}dyd\xi .}

(Op(a)f)(t)=(2\pi )^{-n}\int _{\mathbb {R} ^{2n}}a\left({\frac {t+y}{2}},\xi \right)f(y)e^{i\xi \cdot (t-y)}dyd\xi .

On trouvera plus de détails dans le livre et dans la pageAndré Unterberger.

Propriétés requises du symbole

Pour que l'intégrale ait un sens, il faut que le symbole p ( x , ξ ) {\displaystyle p(x,\xi )} $p(x,\xi )$ présente quelques « bonnes » propriétés, énoncées ci-dessous :

la fonction p ( x , ξ ) {\displaystyle p(x,\xi )} $p(x,\xi )$ doit avoir une croissance tempérée lorsque | ξ | → ∞ {\displaystyle |\xi |\to \infty } $|\xi |\to \infty$ , cette croissance tempérée devant de plus s'améliorer par dérivation. Par analogie avec le cas d'un opérateur différentiel d'ordre m {\displaystyle m} $m$ , où cette croissance est polynomiale, on est amené à demander ici qu'il existe un nombre m {\displaystyle m} $m$ tel que ∀ α | ∂ ξ α p ( x , ξ ) | ≤ C α ( 1 + | ξ | ) m − | α | {\displaystyle \forall \alpha \quad \left|\partial _{\xi }^{\alpha }p(x,\xi )\right|\leq C_{\alpha }\left(1+|\xi |\right)^{m-|\alpha |}} $\forall \alpha \quad \left|\partial _{\xi }^{\alpha }p(x,\xi )\right|\leq C_{\alpha }\left(1+|\xi |\right)^{m-|\alpha |}$ où les C α {\displaystyle C_{\alpha }} $C_{\alpha }$ sont des constantes, qui peuvent dépendre de α {\displaystyle \alpha } $\alpha$ ;
la fonction p ( x , ξ ) {\displaystyle p(x,\xi )} $p(x,\xi )$ doit avoir une variation lente dans les variables d'espace x {\displaystyle x} $x$ . On demande explicitement que ∀ α , | ∂ x α p ( x , ξ ) | ≤ C α ( 1 + | ξ | ) m {\displaystyle \forall \alpha ,\quad \left|\partial _{x}^{\alpha }p(x,\xi )\right|\leq C_{\alpha }\left(1+|\xi |\right)^{m}} $\forall \alpha ,\quad \left|\partial _{x}^{\alpha }p(x,\xi )\right|\leq C_{\alpha }\left(1+|\xi |\right)^{m}$ .

Ces deux conditions peuvent être combinées en une seule, utilisée ci-dessous pour définir plus précisément la classe des symboles d'ordre m {\displaystyle m} $m$ .

Classe des symboles d'ordre m

Soit Ω ⊂ R n {\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}} $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ un compact, et p ( x , ξ ) {\displaystyle p(x,\xi )} $p(x,\xi )$ une fonction lisse de C ∞ ( Ω × R n ) {\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(\Omega \times \mathbb {R} ^{n})} ${\mathcal {C}}^{\infty }(\Omega \times \mathbb {R} ^{n})$ . Soit m {\displaystyle m} $m$ un nombre réel quelconque. La classe S m ( Ω × R n ) {\displaystyle S^{m}(\Omega \times \mathbb {R} ^{n})} $S^{m}(\Omega \times \mathbb {R} ^{n})$ des symboles d'ordre m {\displaystyle m} $m$ est définie par :

S m ( Ω × R n ) = { p ( x , ξ ) ∣ | ∂ ξ α ∂ x β p ( x , ξ ) | ≤ C α , β , Ω ( 1 + | ξ | ) m − | α | } {\displaystyle S^{m}(\Omega \times \mathbb {R} ^{n})=\left\{p(x,\xi )\mid \left|\partial _{\xi }^{\alpha }\partial _{x}^{\beta }p(x,\xi )\right|\leq C_{\alpha ,\beta ,\Omega }\left(1+|\xi |\right)^{m-|\alpha |}\right\}}

S^{m}(\Omega \times \mathbb {R} ^{n})=\left\{p(x,\xi )\mid \left|\partial _{\xi }^{\alpha }\partial _{x}^{\beta }p(x,\xi )\right|\leq C_{\alpha ,\beta ,\Omega }\left(1+|\xi |\right)^{m-|\alpha |}\right\}

pour tout x ∈ Ω {\displaystyle x\in \Omega } $x\in \Omega$ , ξ ∈ R n {\displaystyle \xi \in \mathbb {R} ^{n}} $\xi \in \mathbb {R} ^{n}$ , et pour tous les multi-indices α , β {\displaystyle \alpha ,\beta } $\alpha ,\beta$ . Les C α , β , Ω {\displaystyle C_{\alpha ,\beta ,\Omega }} $C_{\alpha ,\beta ,\Omega }$ sont des constantes, qui peuvent dépendre de α , β {\displaystyle \alpha ,\beta } $\alpha ,\beta$ et Ω {\displaystyle \Omega } $\Omega$ .

Remarque : lorsque la mention du compact Ω {\displaystyle \Omega } $\Omega$ est indifférente, on note simplement : S m = S m ( Ω × R n ) {\displaystyle S^{m}=S^{m}(\Omega \times \mathbb {R} ^{n})} $S^{m}=S^{m}(\Omega \times \mathbb {R} ^{n})$ .

On note souvent Ψ m {\displaystyle \Psi ^{m}} $\Psi ^{m}$ l'ensemble des opérateurs pseudo-différentiels à symbole dans S m {\displaystyle S^{m}} $S^{m}$

Propriété de pseudo-localité

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Support singulier d'une distribution

On appelle support singulier d'une distribution u {\displaystyle u} $u$ le complémentaire de l'ensemble des points au voisinage desquels u {\displaystyle u} $u$ est une fonction C ∞ {\displaystyle C^{\infty }} $C^{\infty }$ .

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Calcul symbolique

Soient p j , ( j = 1 , 2 ) {\displaystyle p_{j},(j=1,2)} $p_{j},(j=1,2)$ des éléments de S m j ( R n × R n ) {\displaystyle S^{m_{j}}(\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n})} $S^{m_{j}}(\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n})$ . Alors l'opérateur p 1 ( x , D ) ∘ p 2 ( x , D ) {\displaystyle p_{1}(x,D)\circ p_{2}(x,D)} $p_{1}(x,D)\circ p_{2}(x,D)$ est aussi un opérateur pseudo-différentiel, dont le symbole, qui appartient à S m 1 + m 2 {\displaystyle S^{m_{1}+m_{2}}} $S^{m_{1}+m_{2}}$ est donné par une somme asymptotique dont le premier terme est p 1 ( x , ξ ) p 2 ( x , ξ ) {\displaystyle p_{1}(x,\xi )p_{2}(x,\xi )} $p_{1}(x,\xi )p_{2}(x,\xi )$

Continuité dans les espaces de Sobolev

On note H s ( R n ) {\displaystyle H^{s}(\mathbb {R} ^{n})} $H^{s}(\mathbb {R} ^{n})$ l'espace de Sobolev standard d'ordre s {\displaystyle s} $s$ sur R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} $\mathbb {R} ^{n}$ . Soient s {\displaystyle s} $s$ et m {\displaystyle m} $m$ deux nombres réels. Un opérateur pseudo-différentiel d'ordre m {\displaystyle m} $m$ sur R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} $\mathbb {R} ^{n}$ (c.-à-d. un élément de Ψ m {\displaystyle \Psi ^{m}} $\Psi ^{m}$ ) est continu de H s ( R n ) {\displaystyle H^{s}(\mathbb {R} ^{n})} $H^{s}(\mathbb {R} ^{n})$ dans H s − m ( R n ) {\displaystyle H^{s-m}(\mathbb {R} ^{n})} $H^{s-m}(\mathbb {R} ^{n})$ .

Propriété de pseudo-localité

Soit a ∈ S m {\displaystyle a\in S^{m}} $a\in S^{m}$ et soit K {\displaystyle K} $K$ le noyau de a ( x , D ) {\displaystyle a(x,D)} $a(x,D)$ . Alors K {\displaystyle K} $K$ est C ∞ {\displaystyle C^{\infty }} $C^{\infty }$ pour x ≠ y {\displaystyle x\neq y} $x\neq y$ . En particulier, pour toute distribution tempérée u {\displaystyle u} $u$ , supp sing a ( x , D ) u ⊂ {\displaystyle a(x,D)u\subset } $a(x,D)u\subset$ supp sing u {\displaystyle u} $u$ .

Bibliothèque virtuelle

(en) M. S. Joshi, Lectures on Pseudo-differential Operators, cours disponible sur arXiv.

Bibliographie

Serge Alinhac et Patrick Gérard, Opérateurs pseudo-différentiels et théorème de Nash-Moser, coll. « Savoirs actuels », EDP Sciences/CNRS éditions, 1991 (ISBN 2-86883-363-2). Issu d’un cours professé à l’École normale supérieure dans le cadre du magistère de mathématiques, ce livre s’adresse aux étudiants de troisième cycle de mathématiques désireux d’acquérir une formation de base en analyse.
Jacques Chazarain et Alain Piriou, Introduction à la théorie des équations aux dérivées partielles linéaires, Gauthier-Villars, 1981 (ISBN 2-04-012157-9).
(en) Yu. V. Egorov et M. A. Shubin (en), Elements of the Modern Theory of Partial Differential Equations, Springer-Verlag, 2e éd., 1999 (ISBN 3-540-65377-5). Cet ouvrage fait suite au volume d'introduction : Foundations of the Classical Theory of Partial Differential Equations, Springer-Verlag, 2e éd., 1998 (ISBN 3-540-63825-3).
(en) Lars Hörmander, The Analysis of Linear Partial Differential Operators, Springer-Verlag, 1983-1985. Traité de référence en quatre volumes, par le récipiendaire de la médaille Fields 1962. Le volume III est sous-titré : Pseudo-Differential Operators, et le volume IV : Fourier Integral Operators.
(en) Lars Hörmander, Linear Partial Differential Operators, Springer-Verlag, 1963. Ce livre contient les travaux pour lesquels l'auteur a obtenu la médaille Fields en 1962.
(en) Nicolas Lerner, Metrics on the phase space and non-selfadjoint pseudo-differential operators, Pseudo-Differential Operators. Theory and Applications, 3. Birkhäuser Verlag, Basel, 2010.
(en) M. A. Shubin, Pseudodifferential Operators and Spectral Theory, Springer-Verlag, 2001 (ISBN 3-540-41195-X).
(en) Michael E. Taylor (en), Pseudodifferential Operators, Princeton Univ. Press, 1981 (ISBN 0-691-08282-0).
(en) Michael E. Taylor, Partial Differential Equations II - Qualitative Studies of Linear Equations, coll. « Applied Mathematical Sciences » (no 116), Springer-Verlag, 2e éd., 1997 (ISBN 0-387-94651-9). Cet ouvrage fait suite au volume d'introduction : Partial Differential Equations - Basic Theory, coll. « Texts in Applied Mathematics » (no 23), Springer-Verlag, 2e éd., 1999 (ISBN 0-387-94654-3).
(en) Michael E. Taylor, Partial Differential Equations III - Nonlinear Equations, coll. « Applied Mathematical Sciences » (no 117), Springer-Verlag, 2e éd., 1997 (ISBN 0-387-94652-7).
(en) François Treves, Introduction to Pseudo Differential and Fourier Integral Operators, coll. « University Series in Mathematics », Plenum Publ., 1981 (ISBN 0-306-40404-4).
(en) André Unterberger, Pseudo-differential operators and applications: an introduction, Lecture Notes Series, 46. Aarhus Universitet, Matematisk Institut, Aarhus, 1976.

Note

Cette formule est fausse lorsque les coefficients de l'opérateur différentiel ne sont pas constants.
Nicolas Lerner, Metrics on the phase space and non-selfadjoint pseudo-differential operators, Pseudo-Differential Operators. Theory and Applications, 3. Birkhäuser Verlag, Basel, 2010

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