Fonction inverse

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Fonction inverse

Courbe représentative de la fonction x ↦ 1 x {\displaystyle x\mapsto {\frac {1}{x}}}

x\mapsto {\frac {1}{x}}

Notation	1 x {\displaystyle {\frac {1}{x}}} ${\frac {1}{x}}$
Réciproque	1 x {\displaystyle {\frac {1}{x}}} ${\frac {1}{x}}$
Dérivée	− 1 x 2 {\displaystyle -{\frac {1}{x^{2}}}} $-{\frac {1}{x^{2}}}$
Primitives	ln ⁡ \| x \| + C {\displaystyle \ln \vert x\vert +C} $\ln \vert x\vert +C$

Principales caractéristiques

Ensemble de définition	R ∗ {\displaystyle \mathbb {R} ^{}} $\mathbb {R} ^{}$
Ensemble image	R ∗ {\displaystyle \mathbb {R} ^{}} $\mathbb {R} ^{}$
Parité	impaire

Valeurs particulières

Limite en +∞	0
Limite en −∞	0

Particularités

Asymptotes	x = 0 {\displaystyle x=0} $x=0$ y = 0 {\displaystyle y=0} $y=0$
Points fixes	−1 ; 1

En mathématiques, la fonction inverse est la fonction qui à tout réel x {\displaystyle x} $x$ non nul associe son inverse, noté 1 x {\displaystyle {\frac {1}{x}}} ${\frac {1}{x}}$ . Elle se note de la manière suivante :

f : { R ∗ → R ∗ x ↦ f ( x ) = 1 x . {\displaystyle f:{\begin{cases}\mathbb {R} ^{*}\to \mathbb {R} ^{*}\\x\mapsto f(x)=\displaystyle {\dfrac {1}{x}}.\end{cases}}}

f:{\begin{cases}\mathbb {R} ^{*}\to \mathbb {R} ^{*}\\x\mapsto f(x)=\displaystyle {\dfrac {1}{x}}.\end{cases}}

Variations

Cette fonction est strictement décroissante sur l'intervalle ]–∞, 00, +∞–∞, 00, +∞.

Dérivée de la fonction inverse

La fonction inverse est même dérivable ; sa dérivée est la fonction f ′ {\displaystyle f'} $f'$ définie par :

f ′ : { R ∗ → R ∗ x ↦ f ′ ( x ) = − 1 x 2 . {\displaystyle f':{\begin{cases}\mathbb {R} ^{*}\to \mathbb {R} ^{*}\\x\mapsto f'(x)=\displaystyle -{\dfrac {1}{x^{2}}}.\end{cases}}}

f':{\begin{cases}\mathbb {R} ^{*}\to \mathbb {R} ^{*}\\x\mapsto f'(x)=\displaystyle -{\dfrac {1}{x^{2}}}.\end{cases}}

Démonstration

Soit x {\displaystyle x} $x$ un réel non nul arbitraire. Pour tout réel h {\displaystyle h} $h$ tel que 0 < | h | < | x | {\displaystyle 0<|h|<|x|} $0<|h|<|x|$ , on a :

f ( x + h ) − f ( x ) h = 1 h ( 1 x + h − 1 x ) = 1 h ( x − ( x + h ) x ( x + h ) ) = − 1 x ( x + h ) {\displaystyle {\dfrac {f(x+h)-f(x)}{h}}={\frac {1}{h}}\left({\dfrac {1}{x+h}}-{\dfrac {1}{x}}\right)={\frac {1}{h}}\left({\dfrac {x-(x+h)}{x(x+h)}}\right)={\dfrac {-1}{x(x+h)}}}

{\dfrac {f(x+h)-f(x)}{h}}={\frac {1}{h}}\left({\dfrac {1}{x+h}}-{\dfrac {1}{x}}\right)={\frac {1}{h}}\left({\dfrac {x-(x+h)}{x(x+h)}}\right)={\dfrac {-1}{x(x+h)}}

donc lim h → 0 f ( x + h ) − f ( x ) h = − 1 x 2 {\displaystyle \lim _{h\to 0}{\dfrac {f(x+h)-f(x)}{h}}={\dfrac {-1}{x^{2}}}} $\lim _{h\to 0}{\dfrac {f(x+h)-f(x)}{h}}={\dfrac {-1}{x^{2}}}$ , c'est-à-dire : f ′ ( x ) = − 1 x 2 {\displaystyle f'(x)=-{\dfrac {1}{x^{2}}}} $f'(x)=-{\dfrac {1}{x^{2}}}$ .

Illustration :

La dérivée de y = 1 x {\displaystyle y={\dfrac {1}{x}}} $y={\dfrac {1}{x}}$ au point d'abscisse 1 vaut − 1 1 2 = − 1 {\displaystyle -{\dfrac {1}{1^{2}}}=-1} $-{\dfrac {1}{1^{2}}}=-1$ donc la pente de la tangente à la courbe de la fonction inverse au point de coordonnées (1, 1) vaut –1.

La fonction inverse est concave sur l'intervalle ]–∞, 00, +∞0,+∞0,+∞[ de la fonction inverse sont donc les fonctions de la forme x ↦ (ln x) + C, où C est une constante réelle arbitraire.

Fonction inverse abstraite

On peut définir de manière générale une fonction inverse f {\displaystyle f} $f$ dans un groupe ( G , × ) {\displaystyle (G,\times )} $(G,\times )$ par

∀ x ∈ G f ( x ) = x − 1 . {\displaystyle \forall x\in G\quad f(x)=x^{-1}.}

\forall x\in G\quad f(x)=x^{-1}.

L'inverse permet donc d'étendre aux exposants entiers négatifs la notion de puissance d'un nombre (ou d'un élément d'un groupe) en posant, pour tout entier n positif : x–n = (xn)−1.

Extension à d'autres groupes

Plan complexe

La fonction inverse peut donc être étendue sur le plan complexe privé de l'origine par :

f : C ∗ → C ∗ z = x + i y ↦ 1 z = z ¯ | z | 2 = x − i y x 2 + y 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}f:&\ \mathbb {C} ^{*}&\to &\ \mathbb {C} ^{*}\\\ &\ z=x+\mathrm {i} y&\mapsto &\ {\frac {1}{z}}={\frac {\overline {z}}{|z|^{2}}}={\frac {x-\mathrm {i} y}{x^{2}+y^{2}}}.\end{aligned}}}

{\begin{aligned}f:&\ \mathbb {C} ^{*}&\to &\ \mathbb {C} ^{*}\\\ &\ z=x+\mathrm {i} y&\mapsto &\ {\frac {1}{z}}={\frac {\overline {z}}{|z|^{2}}}={\frac {x-\mathrm {i} y}{x^{2}+y^{2}}}.\end{aligned}}

Quaternions

La fonction inverse peut donc être définie pour tout quaternion non nul (au moins une des quatre composantes x, y, z, w est non nulle) :

f : H ∗ → H ∗ q = x + y i + z j + w k ↦ q − 1 = x − y i − z j − w k x 2 + y 2 + z 2 + w 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}f:&\ \mathbb {H} ^{*}&\to &\ \mathbb {H} ^{*}\\\ &\ q=x+yi+zj+wk&\mapsto &\ q^{-1}={\frac {x-yi-zj-wk}{x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2}}}.\end{aligned}}}

{\begin{aligned}f:&\ \mathbb {H} ^{*}&\to &\ \mathbb {H} ^{*}\\\ &\ q=x+yi+zj+wk&\mapsto &\ q^{-1}={\frac {x-yi-zj-wk}{x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2}}}.\end{aligned}}

Références

Jean Dieudonné, Éléments d'analyse, t. I : Fondements de l'analyse moderne, Paris, Gauthier-Villars, 1979, p. 80.

Voir aussi

Liens externes

(en) Eric W. Weisstein, « Multiplicative Inverse », sur MathWorld

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