Cet article est une ébauche concernant l’algèbre.
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En mathématiques, l'inverse d'un élément x (s'il existe) est le nom donné à l'élément symétrique, lorsque la loi est notée multiplicativement. Dans le cas réel, il s'agit du nombre qui, multiplié par x, donne 1. On le note x−1 ou 1/x.
Par exemple, dans R {\displaystyle \mathbb {R} }
, l'inverse de 3 est 1 3 = 0,333 … {\displaystyle {\frac {1}{3}}=0{,}333\dots } , puisque 1 3 × 3 = 1 {\displaystyle {\frac {1}{3}}\times 3=1} .Soit S {\displaystyle S} monoïde, c.-à-d. un ensemble muni d'une loi de composition interne associative, qu'on note × {\displaystyle \times } , et d'un élément neutre pour × {\displaystyle \times } noté 1.
unUn élément x ∈ S {\displaystyle x\in S} .
est dit inversible à gauche (respectivement inversible à droite) s'il existe un élément y ∈ S {\displaystyle y\in S} tel que y × x = 1 {\displaystyle y\times x=1} (respectivement x × y = 1 {\displaystyle x\times y=1} )Il est dit inversible s'il est à la fois inversible à gauche et inversible à droite. L'élément y, qui est alors unique, est appelé l'inverse de x, et est noté x−1.
Le plus souvent, quand on parle d'éléments inversibles, on se place dans un groupe ou dans un anneau.
Dans un groupe ( G , × ) {\displaystyle (G,\times )}
, la loi de composition interne considérée est × {\displaystyle \times } et par définition tous les éléments de G {\displaystyle G} sont inversibles.Dans un anneau ( A , + , × ) {\displaystyle (A,+,\times )}
, la loi de composition interne considérée est × {\displaystyle \times } et tous les éléments ne sont pas forcément inversibles.Les éléments inversibles de l'anneau forment un groupe pour la multiplication de l'anneau, appelé groupe des inversibles de cet anneau, et souvent noté U(A) ou A×.
Un anneau dont tous les éléments sont inversibles, mis à la part le neutre de la loi + {\displaystyle +} corps.
(souvent noté 0 {\displaystyle 0} ), est par définition unPlus généralement, pour une matrice A ∈ GL n ( R ) {\displaystyle A\in \operatorname {GL} _{n}(\mathbb {R} )} déterminant et de sa comatrice : A − 1 = 1 d e t ( A ) c o m ( A ) T {\displaystyle A^{-1}={\frac {1}{\mathrm {det} (A)}}\mathrm {com} (A)^{T}} .
, son inverse A-1 s'exprime à partir de sonDans le monoïde (pour la composition) des applications d'un ensemble fixé dans lui-même, les applications qui possèdent des inverses à gauche sont les injections et celles qui possèdent des inverses à droite sont les surjections. Il en est de même dans l'anneau des endomorphismes d'un espace vectoriel.
Attention, lorsque f est à la fois une fonction numérique et une bijection, il ne faut pas confondre l'inverse avec sa bijection réciproque, dont la notation courante est f −1 :
( f ( x ) ) − 1 ≠ f − 1 ( x ) {\displaystyle (f(x))^{-1}\neq f^{-1}(x)} .Exemple pour la fonction cosinus cos : → {\displaystyle \cos :\to } : ( cos x ) − 1 = 1 cos x , cos − 1 ( x ) = arccos x {\displaystyle (\cos x)^{-1}={\frac {1}{\cos x}},\quad \cos ^{-1}(x)=\arccos x} .
Les séries numériques impliquant les inverses des nombres sont des cas d'école
∑ k = 1 n 1 k ⟶ + ∞ {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}\longrightarrow +\infty } (série harmonique). ∑ k = 1 + ∞ ( − 1 ) k k = 1 − 1 2 + 1 3 − 1 4 + ⋯ = ln ( 2 ) {\displaystyle \sum _{k=1}^{+\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k}}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+\dots =\ln(2)} (série harmonique alternée). ∑ k = 1 + ∞ ( 1 k ) 2 = 1 + 1 2 2 + 1 3 2 + ⋯ = π 2 6 {\displaystyle \sum _{k=1}^{+\infty }\left({\frac {1}{k}}\right)^{2}=1+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\dots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}} , et plus généralement, la fonction zêta de Riemann ζ ( 2 m ) = ∑ k = 1 + ∞ 1 k 2 m = 1 + 1 2 2 k + 1 3 2 k + ⋯ = | B 2 m | ( 2 π ) 2 m 2 ( 2 m ) ! , m ∈ Z {\displaystyle \zeta (2m)=\sum _{k=1}^{+\infty }{\frac {1}{k^{2m}}}=1+{\frac {1}{2^{2k}}}+{\frac {1}{3^{2k}}}+\cdots ={\frac {|B_{2m}|(2\pi )^{2m}}{2(2m)!}},m\in \mathbb {Z} } , où | B 2 m | {\displaystyle |B_{2m}|} est la valeur absolue du nombre de Bernoulli.Seuls deux nombres complexes sont opposés à leur inverse (soit 1 x = − x {\displaystyle {\frac {1}{x}}=-x}
) : i et –i (car ce sont les solutions de x 2 = − 1 {\displaystyle x^{2}=-1} ).Diviser par un nombre b revient à multiplier par l'inverse de b, a b = a 1 b ( b ≠ 0 ) {\displaystyle {\frac {a}{b}}=a{\frac {1}{b}}(b\neq 0)}
.