Nombre 4-polytopique centré

En arithmétique géométrique, un nombre 4-polytopique centré, ou nombre 4-hyperpolyédrique centré, ou encore nombre polychorique centré, est un nombre figuré comptant des points disposés dans un 4-polytope, ou polychore, par couches successives autour du centre.

Si l'on note ${\displaystyle P_{n}}$ le nombre de points à l'étape ${\displaystyle n}$, où il y a ${\displaystyle n}$ points dans chaque arête extérieure du polytope, on a les formules :

Nombre 4-polytopique	${\displaystyle P_{n+1}-P_{n}}$	${\displaystyle P_{n}}$	${\displaystyle P_{1},\cdots ,P_{10}}$	Rang OEIS
Nombre pentachorique centré ou 4-hypertétraédrique centré	${\displaystyle {\frac {5}{6}}n(n^{2}+5)}$	${\displaystyle {\frac {5n^{4}-10n^{3}+55n^{2}-50n+24}{24}}}$${\displaystyle ={\binom {n+4}{5}}-{\binom {n-1}{5}}}$	1, 6, 21, 56, 126, 251, 456, 771, 1231, 1876	suite A000332 de l'OEIS
Nombre octachorique centré ou 4-hypercubique centré	${\displaystyle 8n(n^{2}+1)}$${\displaystyle =(n+1)^{4}-(n-1)^{4}}$	${\displaystyle n^{4}+(n-1)^{4}}$	1, 17, 97, 337, 881, 1921, 3697, 6497, 10657, 16561	suite A008514 de l'OEIS
Nombre hexadécachorique centré ou 4-hyperoctaédrique centré	${\displaystyle {\frac {8}{3}}n(n^{2}+2)}$	${\displaystyle {\frac {2n^{4}-4n^{3}+10n^{2}-8n+3}{3}}}$	1, 9, 41, 129, 321, 681, 1289, 2241, 3649, 5641	suite A001846 de l'OEIS
Nombre icositétrachorique centré ou polyoctaédrique centré	${\displaystyle 8n(2n^{2}+1)}$	${\displaystyle \left(n^{2}+(n-1)^{2}\right)^{2}}$	1, 25, 169, 625, 1681, 3721, 7225, 12769, 21025, 32761	suite A092181 de l'OEIS
Nombre hecatonicosachorique ou hyperdodécaédrique centré	${\displaystyle 60n(9n^{2}+1)}$	${\displaystyle 135n^{4}-270n^{3}+165n^{2}-30n+1}$	1, 601, 5041, 19801, 54601, 122401, 239401, 425041, 702001, 1096201
Nombre hexacosichorique ou hypericosaédrique centré	${\displaystyle 20n(5n^{2}+1)}$	${\displaystyle (5n^{2}-5n+1)^{2}}$	1, 121, 961, 3721, 10201, 22801, 44521, 78961, 130321, 203401

Notons que ${\displaystyle P_{1}}$ est le nombre de sommets du polytope correspondant, plus une unité.

On considère un 4-polytope régulier à ${\displaystyle S}$ sommets, ${\displaystyle A}$ arêtes, ${\displaystyle F}$ faces et ${\displaystyle C}$ cellules : Supposons que la figure de l'étape ${\displaystyle n-1}$ soit construite ; on obtient la figure de l'étape ${\displaystyle n}$ en ajoutant^[1],[2] :

• ${\displaystyle S}$ nouveaux points situés aux ${\displaystyle S}$ nouveaux sommets,

• ${\displaystyle (n-2)A}$ nouveaux points situés à l'intérieur des ${\displaystyle A}$ nouvelles arêtes,
• ${\displaystyle (P_{k,n}-k(n-1))F}$ nouveaux points situés à l'intérieur des ${\displaystyle F}$ nouvelles faces k-gonales, ${\displaystyle P_{k,n}}$ étant le nombre k-gonal d'ordre ${\displaystyle n}$,
• ${\displaystyle C\times Q_{n}}$ nouveaux points situés à l'intérieur des ${\displaystyle C}$ nouvelles cellules, ${\displaystyle Q_{n}}$ étant le nombre polyédrique d'ordre ${\displaystyle n}$ associé au cellules, auquel on retranche le nombre de points situés sur sa frontière.

Si l'on note ${\displaystyle P_{n}}$ le nombre de points à l'étape ${\displaystyle n}$, on a donc ${\displaystyle P_{n}-P_{n-1}=(S-1)+A(n-2)+F(P_{k,n}-k(n-1))+C\times Q_{n}}$.

Partant de ${\displaystyle P_{0}=0}$, on obtient donc ${\displaystyle P_{n}}$ en écrivant ${\displaystyle P_{n}=1+\sum _{k=1}^{n}(P_{k}-P_{k-1})}$.

Pour le 4-hypercube, ${\displaystyle S=16,A=32,F=24,C=8}$ ; ${\displaystyle k=4}$ et ${\displaystyle P_{4,n}=n^{2}}$ ; enfin ${\displaystyle Q_{n}=n^{3}-8-12(n-2)-6(n^{2}-4(n-1))}$.

On obtient ${\displaystyle P_{n}-P_{n-1}=8n^{3}-24n^{2}+32n-16=n^{4}-(n-2)^{4}}$, ce qui donne bien ${\displaystyle P_{n}=n^{4}+(n-1)^{4}}$.

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