Icositétrachore

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Icositétrachore (24-cellules)
Diagramme de Schlegel (sommets et arêtes)
Type	Polychore régulier
Cellules	24 {3,4}
Faces	96 {3}
Arêtes	96
Sommets	24
Symbole de Schläfli	{3,4,3} t1{3,3,4} t1{31,1,1}
Polygone de Pétrie	Dodécagone
Groupe(s) de Coxeter	F4, o(1152) B4, o(384) D4, o(192)
Diagramme de Coxeter-Dynkin
Dual	Lui-même
Propriétés	Convexe, isogonal, isotoxal, isoédral
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L'icositétrachore, ou 24-cellules, est un 4-polytope régulier convexe. Il est spécifique à la dimension 4 dans le sens où il ne possède aucun équivalent dans une autre dimension. On le dénomme aussi icositétratope ou hypergranatoèdre.

On peut définir un icositétrachore dans ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ au moyen des sommets de coordonnées ${\displaystyle (\pm 1,\pm 1,0,0)}$, ainsi que ceux obtenus en permutant ces coordonnées. Ils sont au nombre de 24.

On peut répartir ces sommets en trois familles dont chacune correspond aux sommets d'un hexadécachore :

• HexaDec : ${\displaystyle (\pm 1,\pm 1,0,0)}$ et ${\displaystyle (0,0,\pm 1,\pm 1)}$
• HexaDec : ${\displaystyle (\pm 1,0,0,\pm 1)}$ et ${\displaystyle (0,\pm 1,\pm 1,0)}$
• HexaDec : ${\displaystyle (\pm 1,0,\pm 1,0)}$ et ${\displaystyle (0,\pm 1,0,\pm 1)}$

Si on regroupe deux de ces hexadécachores, on obtient les sommets d'un tesseract. Par exemple, les sommets de Hexadec et Hexadec donnent le tesseract suivant :

(1,1,0,0) (1,0,0,1) (1,0,0,–1) (1,–1,0,0) carré de côtés (0,–1,0,1) et (0,–1,0,–1)

(0,1,1,0) (0,0,1,1) (0,0,1,–1) (0,–1,1,0) translaté du précédant de (–1,0,1,0) pour former un cube,

cube qu'on translate de (–1,0,–1,0) pour obtenir les derniers sommets :

(0,1,–1,0) (0,0,–1,1) (0,0,–1,–1) (0,–1,–1,0)

(–1,1,0,0) (–1,0,0,1) (–1,0,0,–1) (–1,–1,0,0)

Les arêtes de l'icositétrachore sont ceux des trois tesseracts qu'on peut définir de la façon précédente. Dans l'exemple ci-dessus, ce sont aussi les segments joignant deux sommets distants de ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$. Ils sont au nombre de 96. Chaque sommet appartient à huit arêtes.

Les faces sont des triangles équilatéraux, dont les sommets sont distants de ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$. Dans l'exemple ci-dessus, les sommets d'une face ont pour coordonnées ${\displaystyle (a,b,0,0)}$, ${\displaystyle (a,0,c,0)}$, ${\displaystyle (a,0,0,d)}$, ou bien ${\displaystyle (b,c,0,0)}$, ${\displaystyle (b,0,d,0)}$, ${\displaystyle (0,c,d,0)}$ (ainsi que ceux obtenus par une même permutation), avec ${\displaystyle a=\pm 1}$, ${\displaystyle b=\pm 1}$, ${\displaystyle c=\pm 1}$ et ${\displaystyle d=\pm 1}$. Ils sont au nombre de 96. Chaque face possède un et un seul sommet de chaque hexadécachore défini plus haut.

Les cellules sont des octaèdres réguliers. Dans l'exemple précédent, huit octaèdres sont contenus dans les hyperplans d'équation ${\displaystyle x=\pm 1}$, ${\displaystyle y=\pm 1}$, ${\displaystyle z=\pm 1}$, ${\displaystyle t=\pm 1}$, et seize autres sont contenus dans les hyperplans d'équation ${\displaystyle \pm x\pm y\pm z\pm t=2}$. Il y a 24 cellules en tout.

Le polytope dual de l'icositétrachore précédent possède pour sommets les points de coordonnées ${\displaystyle (\pm 1,0,0,0)}$, ainsi que les points analogues obtenus par permutation des coordonnées, et les points de coordonnées ${\displaystyle \left(\pm {\frac {1}{2}},\pm {\frac {1}{2}},\pm {\frac {1}{2}},\pm {\frac {1}{2}}\right)}$. Il s'agit également d'un icositétrachore, de sorte que l'icositétrachore est autodual.

• Nombre icositétrachorique

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