Magma (algèbre)

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En mathématiques, un magma est une des structures algébriques utilisées en algèbre générale. Un magma est par définition un ensemble muni d'une loi de composition interne.

Définitions

Un magma est un ensemble M {\displaystyle M} $M$ muni d'une loi de composition interne ⋆ {\displaystyle \star } $\star$ , noté alors ( M , ⋆ ) {\displaystyle (M,\star )} $(M,\star )$ ou simplement M {\displaystyle M} $M$ .

Aucun axiome n'est imposé. La loi de composition peut être notée additivement, multiplicativement, mais aussi sans aucun signe, par simple juxtaposition.

On dit que le magma ( M , ⋆ ) {\displaystyle (M,\star )} $(M,\star )$ est :

unifère s'il possède un élément neutre e {\displaystyle e} $e$ , c'est-à-dire ∀ x ∈ M , e ⋆ x = x ⋆ e = x {\displaystyle \forall x\in M,\ e\star x=x\star e=x} $\forall x\in M,\ e\star x=x\star e=x$ ;
un demi-groupe (ou associatif) si ⋆ {\displaystyle \star } $\star$ est associative ;
un monoïde s'il vérifie les deux propriétés (associativité et existence d'un élément neutre).

Si ( M , ⋅ ) {\displaystyle (M,\cdot )} $(M,\cdot )$ et ( N , ⋆ ) {\displaystyle (N,\star )} $(N,\star )$ sont des magmas, un morphisme de magmas, ou homomorphisme de magmas, de ( M , ⋅ ) {\displaystyle (M,\cdot )} $(M,\cdot )$ dans ( N , ⋆ ) {\displaystyle (N,\star )} $(N,\star )$ est par définition une application f de M dans N telle que, pour tous éléments x, y de M, on ait

f ( x ⋅ y ) = f ( x ) ⋆ f ( y ) . {\displaystyle \qquad f(x\cdot y)=f(x)\star f(y).}

\qquad f(x\cdot y)=f(x)\star f(y).

Si, de plus, f est une bijection, la réciproque de f est un morphisme de magmas de ( N , ⋆ ) {\displaystyle (N,\star )} $(N,\star )$ dans ( M , ⋅ ) {\displaystyle (M,\cdot )} $(M,\cdot )$ et on dit que f est un isomorphisme de magmas. La réciproque d'un isomorphisme de magmas est un isomorphisme de magmas.

Si le contexte est assez clair, on dit « morphisme » tout court plutôt que « morphisme de magmas », mais il y a des cas où cela pourrait prêter à confusion. Par exemple, un morphisme de magmas entre monoïdes n'est pas forcément un morphisme de monoïdes.

Exemples de magmas

Le magma vide est l'unique magma sur l'ensemble vide.
( N , + ) {\displaystyle (\mathbb {N} ,+)} $(\mathbb {N} ,+)$ est un monoïde commutatif. De plus, tout élément y est régulier.
( N , × ) {\displaystyle (\mathbb {N} ,\times )} $(\mathbb {N} ,\times )$ est également un monoïde commutatif, mais 0 n'est pas régulier.
( Z , − ) {\displaystyle (\mathbb {Z} ,-)} $(\mathbb {Z} ,-)$ est un magma non associatif et non commutatif. Il n'est même pas unifère mais seulement unifère à droite car, s'il admet un (unique, ce qui n'est pas automatique) élément neutre à droite (0), il n'en admet pas à gauche. En revanche, ce magma est permutatif et régulier.
On appelle magma opposé au magma M = ( E , ⋆ ) {\displaystyle M=(E,\star )} $M=(E,\star )$ le magma M o p = ( E , ⊞ ) {\displaystyle M^{op}=(E,\boxplus )} $M^{op}=(E,\boxplus )$ où x ⊞ y = y ⋆ x {\displaystyle x\boxplus y=y\star x} $x\boxplus y=y\star x$ pour tous ( x , y ) ∈ E 2 {\displaystyle (x,y)\in E^{2}} $(x,y)\in E^{2}$ .
Magma quotient

Article détaillé : Magma quotient.

Murskiǐ a montré en 1965 que le magma à trois éléments { 0 , 1 , 2 } {\displaystyle \{0,1,2\}} $\{0,1,2\}$ muni de la loi interne ⋆ {\displaystyle \star } $\star$ ci-dessous ne possède pas d'axiomatisation équationnelle (ou base équationnelle) finie.

Magma {0,1,2} muni de ⋆ {\displaystyle \star }

\star

⋆ {\displaystyle \star } $\star$	1	2
0	0	0
1	0	1
2	2	2

La structure d'anneau fait intervenir deux lois de composition internes sur un même ensemble, et donc deux magmas.

Magma libre construit sur un ensemble

Pour tout ensemble X {\displaystyle X} $X$ , il est possible de construire un ensemble M X {\displaystyle M_{X}} $M_{X}$ qui contient X {\displaystyle X} $X$ et qui est un magma pour la loi ∙ {\displaystyle \bullet } $\bullet$ définie par : a ∙ b = ( a , b ) {\displaystyle a\bullet b=(a,b)} $a\bullet b=(a,b)$ . Cet ensemble doit nécessairement contenir

les éléments a , b , c , d , … {\displaystyle a,\,b,\,c,\,d,\,\dots } $a,\,b,\,c,\,d,\,\dots$ de X {\displaystyle X} $X$
les couples ( a , b ) , ( a , c ) , ( b , c ) , … {\displaystyle (a,b),\,(a,c),\,(b,c),\ \dots } $(a,b),\,(a,c),\,(b,c),\ \dots$ d'éléments de X {\displaystyle X} $X$
les couples ( a , ( b , c ) ) , ( ( a , b ) , c ) , … {\displaystyle (a,(b,c)),\,((a,b),c),\ \dots } $(a,(b,c)),\,((a,b),c),\ \dots$ formés d'un couple et d'un élément de X {\displaystyle X} $X$
les couples ( ( a , b ) , ( c , d ) ) , ( a , ( b , ( c , d ) ) ) , ( a , ( ( b , c ) , d ) ) … {\displaystyle ((a,b),(c,d)),\,(a,(b,(c,d))),\,(a,((b,c),d))\dots } $((a,b),(c,d)),\,(a,(b,(c,d))),\,(a,((b,c),d))\dots$
… {\displaystyle \dots } $\dots$

M X {\displaystyle M_{X}} $M_{X}$ peut être décrit comme l'ensemble des mots parenthésés construits à partir des éléments de X {\displaystyle X} $X$ , l'opération ∙ {\displaystyle \bullet } $\bullet$ étant une concaténation non associative.

Bourbaki décrit cet ensemble comme l'union des ensembles de mots de longueur n {\displaystyle n} $n$ pour n {\displaystyle n} $n$ appartenant à N {\displaystyle \mathbb {N} } $\mathbb {N}$ . Il définit par récurrence l'ensemble des mots de longueur n {\displaystyle n} $n$ , M n ( X ) {\displaystyle M_{n}(X)} $M_{n}(X)$ comme l'ensemble somme des ensembles M p ( X ) × M n − p ( X ) {\displaystyle M_{p}(X)\times M_{n-p}(X)} $M_{p}(X)\times M_{n-p}(X)$ pour 1 ⩽ p ⩽ n − 1 {\displaystyle 1\leqslant p\leqslant n-1} $1\leqslant p\leqslant n-1$ : un mot de longueur n est la concaténation d'un mot de longueur p {\displaystyle p} $p$ et d'un mot de longueur n − p {\displaystyle n-p} $n-p$ .

Cet ensemble s'appelle le magma libre construit sur X {\displaystyle X} $X$ .

Ce magma libre construit sur X {\displaystyle X} $X$ possède la propriété universelle suivante: si f {\displaystyle f} $f$ est une application de X {\displaystyle X} $X$ vers un magma M {\displaystyle M} $M$ , il existe une unique extension de f {\displaystyle f} $f$ , f ~ {\displaystyle {\tilde {f}}} ${\tilde {f}}$ , qui soit un morphisme de magma de M X {\displaystyle M_{X}} $M_{X}$ vers M {\displaystyle M} $M$ .

Historique

Le terme magma a été introduit pour la première fois dans le contexte de l'algèbre générale par Nicolas Bourbaki.

L'ancienne appellation « groupoïde de Ore », introduite par Bernard Hausmann et Øystein Ore en 1937 et parfois utilisée jusque dans les années 1960, est aujourd'hui à éviter ,,, l'usage du terme groupoïde étant aujourd'hui réservé à la théorie des catégories, où il signifie autre chose.

Notes et références

N. Bourbaki, Algèbre I, chapitres 1 à 3, p. I.12 §2 1, Élément neutre, Définition 2.
N. Bourbaki, AI, p. I.2-3.
(en) V. L. Murskiǐ, « The existence in three-valued logic of a closed class with finite basis, not having a finite complete system of identities », Soviet Math. Dokl., vol. 6, 1965, p. 1020-1021.
Bourbaki, A I.77, §7, Magmas libres.
(en) B. A. Hausmann et Oystein Ore, « Theory of Quasi-Groups », Amer. J. Math., vol. 59, no 4,‎ 1937, p. 983-1004 (JSTOR 2371362).
Dov Tamari, « Problèmes d'associativité des monoïdes et problèmes des mots pour les groupes », Séminaire Dubreil, vol. 16, no 1,‎ 1962-63 (lire en ligne), exposé no 7, p. 1-29.
(en) « Groupoid », sur Online Dictionary of Crystallography.
(en) Massimo Nespolo, « Does mathematical crystallography still have a role in the XXI century? », Acta Crystallographica, section A, vol. 64,‎ 2008, p. 97 (DOI 10.1107/S0108767307044625).
(en) L. Beklemishev, M. Pentus et N. Vereshchagin, Provability, Complexity, Grammars, coll. « AMS Translations – Series 2 » (no 192), 1999, 172 p. (traduction anglaise de trois thèses de doctorat en russe, dont la première : , 1992).

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