Indice d'un sous-groupe

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En mathématiques, et plus précisément en théorie des groupes, si H est un sous-groupe d'un groupe G, l'indice du sous-groupe H dans G est le nombre de copies distinctes de H que l'on obtient en multipliant à gauche par un élément de G, soit le nombre des xH quand x parcourt G (on peut choisir en fait indifféremment de multiplier à gauche ou à droite). Les classes xH formant une partition, et la multiplication à gauche dans un groupe par un élément donné étant bijective, le produit de l'indice du sous-groupe H dans G par l'ordre de H égale l'ordre de G, ce dont on déduit, pour un groupe fini, le théorème de Lagrange.

Définition

Soient (G,•) un groupe et H un sous-groupe de G. La relation x–1y∈H est une relation d'équivalence (en x et y) dans G et les classes d'équivalence correspondantes sont les parties de G de la forme xH, où x parcourt G. On appelle ces parties de G les classes à gauche (d'éléments de G) suivant H, ou encore modulo H.

De même, la relation yx–1∈H est une relation d'équivalence dans G et les classes d'équivalence correspondantes sont les parties de G de la forme Hx, où x parcourt G. On appelle ces parties de G les classes à droite (d'éléments de G) suivant H, ou encore modulo H.

(Il est clair que les classes à gauche et les classes à droite d'éléments de G modulo H coïncident si G est commutatif. Plus généralement, elles coïncident si et seulement si H est un sous-groupe distingué de G.)

L'application X↦X–1 est une bijection de l'ensemble des classes à gauche sur l'ensemble des classes à droite, donc l'ensemble des classes à gauche et l'ensemble des classes à droite ont même cardinal. Ce cardinal est appelé l'indice de H dans G et noté (G:H), ou encore , ou encore |G:H|.

Exemples

Formule des indices

Soient G un groupe, H un sous-groupe de G et K un sous-groupe de H, autrement dit un sous-groupe de G contenu dans H. On démontre la formule des indices :

| G : K | = | G : H | ⋅ | H : K | . {\displaystyle |G:K|=|G:H|\cdot |H:K|.}

Pour K trivial, on retrouve que pour tout sous-groupe H d'un groupe G,

( 1 ) | G | = | G : H | ⋅ | H | , {\displaystyle (1)\qquad |G|=|G:H|\cdot |H|,}

ce qui peut se démontrer plus directement en remarquant que les classes modulo H sont équipotentes à H, de sorte que G est réunion disjointe de « copies » de H.

La relation (1) montre que l'indice d'un sous-groupe divise l'ordre du groupe. Dans le cas où le groupe est fini, c'est le théorème de Lagrange.

Indice de l'intersection de deux sous-groupes

Dans cette section, on désignera par G/H l'ensemble des classes à gauche de G modulo le sous-groupe H de G.

Si H et K sont deux sous-groupes de G alors

= ≤ , {\displaystyle =\leq ,}

car l'application

H / ( H ∩ K ) → G / K , x = h ( H ∩ K ) ↦ x K = h K {\displaystyle H/(H\cap K)\to G/K,x=h(H\cap K)\mapsto xK=hK}

est injective. En particulier, si et sont tous deux finis, l'est aussi (théorème de Poincaré).
Si H ou K est normal dans G ou même seulement sous-normal, est non seulement un majorant mais un multiple de . Sous cette hypothèse on a donc :

  |   , {\displaystyle ~{\bigg |}~,}

mais cette propriété n'est pas vraie sans une telle hypothèse, comme le montre l'exemple G = S3, H = {1, s}, K ={1, t}, où s et t sont deux transpositions distinctes.

Notes et références

  1. Voir par exemple N. Bourbaki, Éléments de mathématique, Algèbre, Paris, 1970, chap. 1, p. 47.
  2. Voir par exemple Bourbaki 1970, p. 34, ou encore J. Calais, Éléments de théorie des groupes, Paris, 1984, p. 78-79.
  3. Une variante d'argument pour ≤ est l'injectivité de l'application G / ( H ∩ K ) → ( G / H ) × ( G / K ) , x = g ( H ∩ K ) ↦ ( x H , x K ) = ( g H , g K ) . {\displaystyle G/(H\cap K)\to (G/H)\times (G/K),x=g(H\cap K)\mapsto (xH,xK)=(gH,gK).}
  4. Pour la dénomination « théorème de Poincaré », voir par exemple Calais 1984, p. 77, ou encore (en) Joseph J. Rotman (en), An Introduction to the Theory of Groups , 4e éd., tirage de 1999, p. 54.
  5. (en) Zhi-Wei Sun, « Exact m-covers of groups by cosets », European J. Combin., vol. 22, no 3,‎ 2001, p. 415-429 (lire en ligne)

Voir aussi