Équation aux dérivées partielles parabolique
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En mathématiques, une équation aux dérivées partielles linéaire du second ordre, dont la forme générale est donnée par :
∑ i , j = 1 n a i j ( x ) ∂ 2 f ∂ x i ∂ x j + ∑ i = 1 n b i ( x ) ∂ f ∂ x i + c ( x ) f = h ( x ) , x ∈ U ⊂ R n {\displaystyle \sum _{i,j=1}^{n}{a_{ij}(\mathbf {x} ){\dfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}}+\sum _{i=1}^{n}{b_{i}(\mathbf {x} ){\dfrac {\partial f}{\partial x_{i}}}}+c(\mathbf {x} )f=h(\mathbf {x} ),\ \ \ \mathbf {x} \in U\subset \mathbb {R} ^{n}}
est dite parabolique en un point donné x de l'ouvert U si la matrice carrée symétrique A ( x ) = ( a i j ) 1 ≤ i , j ≤ n {\displaystyle A(\mathbf {x} )=\left(a_{ij}\right)_{1\leq i,j\leq n}} des coefficients du second ordre admet n–1 valeurs propres non nulles et de même signe et une valeur propre nulle, le vecteur propre associé à cette dernière, noté v 0 ( x ) {\displaystyle \mathbf {v} _{0}(\mathbf {x} )} , étant tel que v 0 ( x ) ⋅ b ( x ) ≠ 0 {\displaystyle \mathbf {v} _{0}(\mathbf {x} )\cdot \mathbf {b} (\mathbf {x} )\neq 0} , b ( x ) {\displaystyle \mathbf {b} (\mathbf {x} )} désignant le vecteur des n coefficients du premier ordre,.
des coefficients du second ordre admet n–1 
, étant tel que
v
0
(
x
)
⋅
b
(
x
)
≠
0
{\displaystyle \mathbf {v} _{0}(\mathbf {x} )\cdot \mathbf {b} (\mathbf {x} )\neq 0}
,
b
(
x
)
{\displaystyle \mathbf {b} (\mathbf {x} )}
désignant le vecteur des n coefficients du premier ordreExemple
Un exemple classique d'équation différentielle parabolique est l'équation de la chaleur :
∂ T ∂ t − D Δ T + S ρ C P = 0 {\displaystyle {\frac {\partial T}{\partial t}}-D\Delta T+{\frac {S}{\rho C_{P}}}=0} ,
,
où D est la diffusivité thermique et CP la chaleur spécifique à pression constante, S désignant un terme source de production de chaleur, T = T(t,r) la température au point r de l'espace et à l'instant t.
En effet, dans ce cas la matrice A est donnée par ( 0 0 0 0 0 − D 0 0 0 0 − D 0 0 0 0 − D ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&-D&0&0\\0&0&-D&0\\0&0&0&-D\end{pmatrix}}} et admet donc une valeur propre nulle, et trois autres égales à –D et donc de même signe. Par ailleurs le vecteur propre associé à la valeur propre nulle, soit (1,0,0,0) est clairement non orthogonal au vecteur b = ( 1 , 0 , 0 , 0 ) {\displaystyle \mathbf {b} =(1,0,0,0)} .
et admet donc une valeur propre nulle, et trois autres égales à –D et donc de même signe. Par ailleurs le vecteur propre associé à la valeur propre nulle, soit (1,0,0,0) est clairement non orthogonal au vecteur
b
=
(
1
,
0
,
0
,
0
)
{\displaystyle \mathbf {b} =(1,0,0,0)}
.
Notes et références
- H. Reinhard 2004
- Si cette dernière condition n'est pas vérifiée l'équation sera dégénérée.
Bibliographie
- H. Reinhard, Équations aux dérivées partielles, introduction, Paris, Dunod Université, coll. « Sciences Sup » (réimpr. 2004) (1re éd. 1991), 291 p., broché (ISBN 978-2100484225).
- Maurice Gevrey, Sur les équations aux dérivées partielles du type parabolique, Gauthier-Villars, 1913
Voir aussi
- Équation aux dérivées partielles
- Équation aux dérivées partielles elliptique
- Équation aux dérivées partielles hyperbolique
