Vecteur nul

Dans un espace vectoriel E sur un corps commutatif K {\displaystyle K} $K$ , le vecteur nul est l'unique vecteur représentant l'élément neutre pour l'addition vectorielle. Son existence est donnée par la définition de la structure d'espace vectoriel. Il peut être noté 0 E {\displaystyle 0_{E}\,} $0_{E}\,$ ou 0 {\displaystyle \mathbf {0} } $\mathbf {0}$ ou encore 0 → {\displaystyle {\vec {0}}} ${\vec {0}}$ , ou tout simplement 0.

Comme tout élément neutre, le vecteur nul est unique. La preuve est élémentaire : si a {\displaystyle a} $a$ et b {\displaystyle b} $b$ sont deux vecteurs nuls d'un même espace vectoriel E, alors a = a + b {\displaystyle a=a+b} $a=a+b$ par nullité de b {\displaystyle b} $b$ et b = a + b {\displaystyle b=a+b} $b=a+b$ par nullité de a {\displaystyle a} $a$ , donc a = b {\displaystyle a=b} $a=b$ .

Propriétés et remarques

Il est le résultat de la multiplication par le scalaire 0 K {\displaystyle 0_{K}\,} $0_{K}\,$ de n'importe quel vecteur de E et de la multiplication par n'importe quel scalaire par lui-même. Plus précisément, pour un scalaire λ {\displaystyle \lambda } $\lambda$ et un vecteur v,

λ v = 0 E ⟺ ( λ = 0 K ou v = 0 E ) . {\displaystyle \lambda v=0_{E}\iff (\lambda =0_{K}\ {\text{ou}}\ v=0_{E}).}

\lambda v=0_{E}\iff (\lambda =0_{K}\ {\text{ou}}\ v=0_{E}).

Pour tous espaces vectoriels E et F, et toute application linéaire f : E → F {\displaystyle f:E\rightarrow F} $f:E\rightarrow F$ , le vecteur nul de E est envoyé par f sur le vecteur nul de F : f ( 0 E ) = 0 F {\displaystyle f(0_{E})=0_{F}} $f(0_{E})=0_{F}$ .
L'image réciproque du sous-espace vectoriel de E réduit au vecteur nul par une application linéaire f {\displaystyle f} $f$ est un sous-espace vectoriel de E : il est appelé noyau de l'application linéaire f.
L'espace vectoriel réduit au vecteur nul est l'unique espace vectoriel qui ne possède qu'un seul élément, le vecteur nul. Il est appelé l'espace nul.

Exemples

Lorsque K est un corps commutatif, dans l'espace vectoriel ( K , + , ⋅ ) {\displaystyle (K,+,\cdot )} $(K,+,\cdot )$ , le vecteur nul est l'élément neutre additif de K {\displaystyle K} $K$ , c'est-à-dire 0 K {\displaystyle 0_{K}} $0_{K}$ .
Dans le K-espace vectoriel Kn, le vecteur nul est le n-uplet ( 0 , … , 0 ) {\displaystyle (0,\ldots ,0)} $(0,\ldots ,0)$ où 0 {\displaystyle 0} $0$ est l'élément neutre pour l'addition du corps K.
Si E est un sous-espace vectoriel de F, le vecteur nul de E est le vecteur nul de F.
Pour tout ensemble X, le vecteur nul de l'espace F ( X , R ) {\displaystyle {\mathcal {F}}(X,\mathbb {R} )} ${\mathcal {F}}(X,\mathbb {R} )$ des fonctions réelles sur X est la fonction nulle, qui à tout point de X associe 0.
En vertu des deux points précédents, dans l'espace vectoriel C ( R , R ) {\displaystyle {\mathcal {C}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )} ${\mathcal {C}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )$ des fonctions continues de R {\displaystyle \mathbb {R} } $\mathbb {R}$ dans R {\displaystyle \mathbb {R} } $\mathbb {R}$ , le vecteur nul est la fonction nulle.
Dans l'espace vectoriel K {\displaystyle K} $K$ des polynômes à coefficients dans un corps commutatif K {\displaystyle K} $K$ , le vecteur nul est le polynôme nul.
Lorsque les vecteurs sont définis à partir de bipoints équipollents, le vecteur nul est représenté par la classe des couples (A,A) formés d'un seul point A.
L'unique K-espace vectoriel à ne contenir que le vecteur nul est par définition l'espace nul. Pour tout espace vectoriel E, il existe une unique injection de l'espace nul { 0 } {\displaystyle \{0\}} $\{0\}$ vers E, qui envoie 0 sur 0 E {\displaystyle 0_{E}} $0_{E}$ . La dimension de l'espace nul est 0.

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