Théorème d'approximation de Dirichlet

Le théorème d'approximation de Dirichlet est le résultat d'approximation diophantienne simultanée de d réels ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{d}}$ suivant :

Pour tout réel N ≥ 1, il existe un entier q tel que

${\displaystyle 1\leq q\leq N\quad {\text{et}}\quad d(qx_{j},\mathbb {Z} )<N^{-1/d}\quad (\forall j=1,2,\dots ,d)}$,

dont le cas particulier N = Q^d avec Q entier^[1] se démontre par le principe des tiroirs de Dirichlet^[2], ou le résultat suivant^[3],[4] (plus général^[5]) :

Pour tout réel M > 1, il existe un entier q tel que

${\displaystyle 1\leq q<M\quad {\text{et}}\quad d(qx_{j},\mathbb {Z} )\leq M^{-1/d}\quad (\forall j=1,2,\dots ,d)}$,

qui utilise un théorème de Minkowski ou de Blichfeldt.

Ce théorème est appliqué notamment en théorie des nombres (approximations diophantiennes, théorie des séries de Dirichlet) et dans la théorie des fonctions presque périodiques.

Un corollaire élémentaire du cas d = 1 est que la mesure d'irrationalité de tout irrationnel est supérieure ou égale à 2.

Le théorème est aussi lié à la conjecture du coureur solitaire^[6].

• Démonstration du théorème de Dirichlet à partir de celui de Minkowski
• Théorèmes de Dirichlet 
• Théorème de Kronecker (approximation diophantienne)
• Théorème du sous-espace

• Arithmétique et théorie des nombres