En mathématiques, plus précisément en analyse réelle, les limites inférieures et supérieures sont des outils d'étude des suites de nombres réels. Une telle suite n'est en général ni monotone, ni convergente. L'introduction des limites supérieure et inférieure permet de retrouver, partiellement, de telles propriétés. Il s'agit d'un cas particulier de valeurs d'adhérence de la suite.
Soit ( u n ) n ∈ N {\displaystyle (u_{n})_{n\in \mathbb {N} }} ℝ = ℝ ∪ {−∞, +∞}.
une suite à valeurs dans ℝ, ou mêmeLes suites définies par
v n = sup { u k ∣ k ≥ n } et w n = inf { u k ∣ k ≥ n } {\displaystyle v_{n}=\sup\{u_{k}\mid k\geq n\}{\text{ et }}w_{n}=\inf\{u_{k}\mid k\geq n\}}sont respectivement décroissante et croissante. Elles admettent donc une limite dans ℝ, ce qui permet de poser, :
lim sup n → + ∞ u n = lim n → + ∞ v n et lim inf n → + ∞ u n = lim n → + ∞ w n , {\displaystyle \limsup _{n\to +\infty }u_{n}=\lim _{n\to +\infty }v_{n}{\text{ et }}\liminf _{n\to +\infty }u_{n}=\lim _{n\to +\infty }w_{n},}ou, ce qui est équivalent :
lim sup n → + ∞ u n = inf { v n ∣ n ∈ N } et lim inf n → + ∞ u n = sup { w n ∣ n ∈ N } . {\displaystyle \limsup _{n\rightarrow +\infty }u_{n}=\inf\{v_{n}\mid n\in \mathbb {N} \}{\text{ et }}\liminf _{n\to +\infty }u_{n}=\sup\{w_{n}\mid n\in \mathbb {N} \}.}Ces nombres sont appelés limite supérieure et limite inférieure de la suite ( u n ) n ∈ N {\displaystyle (u_{n})_{n\in \mathbb {N} }}
.On rencontre aussi les notations lim ¯ {\displaystyle {\overline {\lim }}}
Remarque Pour tout n, w n ≤ u n ≤ v n {\displaystyle w_{n}\leq u_{n}\leq v_{n}} ou lim ¯ n → + ∞ {\displaystyle {\underset {n\to +\infty }{\overline {\lim }}}} pour la limite supérieure et lim _ {\displaystyle {\underline {\lim }}} ou lim _ n → + ∞ {\displaystyle {\underset {n\to +\infty }{\underline {\lim }}}} pour la limite inférieure. . La suite ( u n ) n ∈ N {\displaystyle (u_{n})_{n\in \mathbb {N} }} est donc :(La finitude de lim sup — ou de lim inf — pour une suite bornée fournit donc une preuve sophistiquée d'un cas particulier — par ailleurs élémentaire — du théorème de Bolzano-Weierstrass.)
La formule de Hadamard donne l'expression du rayon de convergence R d'une série entière ∑ n = 0 ∞ a n z n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}\ } en termes d'une limite supérieure : 1 R = lim sup n → ∞ ( | a n | 1 / n ) . {\displaystyle {\frac {1}{R}}=\limsup _{n\to \infty }\left(|a_{n}|^{1/n}\right).} Cette formule découle de l'application de la règle de Cauchy.
On peut généraliser la notion de suite numérique et de ses limites supérieure et inférieure dans deux directions : en modifiant l'ensemble ℝ dans lequel la suite prend ses valeurs ou l'ensemble ℕ des indices.
La définition des limites supérieure et inférieure pour une suite numérique correspond à la relation d'ordre sur la droite réelle achevée, mais s'applique encore pour une suite à valeurs dans n'importe quel treillis complet, c'est-à-dire n'importe quel ensemble ordonné où toute partie possède une borne supérieure et une borne inférieure :
lim sup u n = inf n ( sup k ≥ n u k ) et lim inf u n = sup n ( inf k ≥ n u k ) . {\displaystyle \limsup u_{n}=\inf _{n}\left(\sup _{k\geq n}u_{k}\right)\qquad {\text{et}}\qquad \liminf u_{n}=\sup _{n}\left(\inf _{k\geq n}u_{k}\right).}En particulier dans le treillis de l'ensemble des parties d'un ensemble (ordonné par l'inclusion), lim sup {\displaystyle \limsup } et lim inf {\displaystyle \liminf } sont définies pour une suite ( A n ) n ≥ 0 {\displaystyle (A_{n})_{n\geq 0}} de parties par :
lim sup A n = ∩ n ( ∪ k ≥ n A k ) et lim inf A n = ∪ n ( ∩ k ≥ n A k ) . {\displaystyle \limsup A_{n}=\cap _{n}\left(\cup _{k\geq n}A_{k}\right)\qquad {\text{et}}\qquad \liminf A_{n}=\cup _{n}\left(\cap _{k\geq n}A_{k}\right).}On peut remarquer que la fonction indicatrice de la limite supérieure de la suite ( A n ) {\displaystyle (A_{n})} est égale à la limite supérieure de la suite des fonctions indicatrices des A n {\displaystyle A_{n}} , et de même pour les limites inférieures.
lim sup A n {\displaystyle \limsup A_{n}} loi forte des grands nombres. Voir par exemple le lemme de Borel-Cantelli.
est l'ensemble des x ∈ E {\displaystyle x\in E} qui appartiennent à A n {\displaystyle A_{n}} pour une infinité d'indices n {\displaystyle n} , et lim inf A n {\displaystyle \liminf A_{n}} est l'ensemble des x ∈ E {\displaystyle x\in E} qui appartiennent à tous les A n {\displaystyle A_{n}} à partir d'un certain rang. Ces notions jouent un rôle important en calcul des probabilités, dans la démonstration de laLa définition des limites supérieure et inférieure d'une suite (à valeurs dans ℝ) s'étend telle quelle à une suite généralisée, c'est-à-dire à une famille (ui)i∈I d'éléments de ℝ indexée par un ensemble ordonné filtrant I {\displaystyle I} qui n'est plus nécessairement l'ensemble des entiers naturels :
lim sup u i = inf i ∈ I ( sup k ≥ i u k ) et lim inf u i = sup i ∈ I ( inf k ≥ i u k ) . {\displaystyle \limsup u_{i}=\inf _{i\in I}\left(\sup _{k\geq i}u_{k}\right)\qquad {\text{et}}\qquad \liminf u_{i}=\sup _{i\in I}\left(\inf _{k\geq i}u_{k}\right).}Plus généralement, si X {\displaystyle X} filtre ℱ, les limites supérieure et inférieure suivant ce filtre d'une fonction f {\displaystyle f} de X {\displaystyle X} dans ℝ sont définies par :
lim sup F f = inf V ∈ F ( sup x ∈ V f ( x ) ) et lim inf F f = sup V ∈ F ( inf x ∈ V f ( x ) ) {\displaystyle \limsup _{\mathcal {F}}f=\inf _{V\in {\mathcal {F}}}\left(\sup _{x\in V}f(x)\right)\qquad {\text{et}}\qquad \liminf _{\mathcal {F}}f=\sup _{V\in {\mathcal {F}}}\left(\inf _{x\in V}f(x)\right)} est un ensemble muni d'unet l'on peut, dans les seconds membres, remplacer le filtre ℱ par l'une quelconque de ses bases.
En particulier, si f : X → R {\displaystyle f:X\to \mathbb {R} } fonction numérique définie sur un espace topologique, on peut définir lim sup x → a f ( x ) {\displaystyle \limsup _{x\to a}f(x)} .
est unePour bien voir ces deux notions. Dans le cas d'une fonction f {\displaystyle f}
: R → R {\displaystyle :\mathbb {R} \to \mathbb {R} } , on peut les définir comme suit :lim inf x → a f = lim ε → 0 inf { f ( x ) : x ∈ } et lim sup x → a f = lim ε → 0 sup { f ( x ) : x ∈ } {\displaystyle \liminf _{x\to a}f=\lim _{\varepsilon \to 0}\inf\{f(x):x\in \}\qquad {\text{et}}\qquad \limsup _{x\to a}f=\lim _{\varepsilon \to 0}\sup\{f(x):x\in \}}
Cela permet par exemple de définir les nombres dérivés d'une fonction f : R → R {\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} } . Ce sont les « nombres » (éventuellement égaux à ±∞)
lim sup h → 0 + f ( a + h ) − f ( a ) h , lim inf h → 0 + f ( a + h ) − f ( a ) h , lim sup h → 0 − f ( a + h ) − f ( a ) h , lim inf h → 0 − f ( a + h ) − f ( a ) h . {\displaystyle {\begin{aligned}\limsup _{h\to 0^{+}}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}},&\qquad \liminf _{h\to 0^{+}}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}},\\\limsup _{h\to 0^{-}}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}},&\qquad \liminf _{h\to 0^{-}}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}.\end{aligned}}}