Formule de Baker-Campbell-Hausdorff

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En mathématiques, la formule de Baker-Campbell (en)-Hausdorff est la solution Z de l'équation :

${\displaystyle e^{Z}=e^{X}e^{Y}}$

où ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$ et ${\displaystyle Z}$ sont des matrices, ou plus généralement des éléments d'une algèbre de Lie d'un groupe de Lie.

Avec les crochets de Lie, elle s'écrit^[1] :

${\displaystyle Z=X+Y+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{12}}(]-])+\ldots }$

Une formule reliée est la formule de Zassenhaus: ${\displaystyle e^{X+Y}=e^{X}~e^{Y}~e^{-{\frac {1}{2}}}~e^{{\frac {1}{6}}(2]+])}~e^{{\frac {-1}{24}}(,X],X]+3,X],Y]+3,Y],Y])}\cdots }$

En particulier lorsque ${\displaystyle X}$et ${\displaystyle Y}$ commutent nous avons ${\displaystyle e^{X+Y}=e^{X}e^{Y}}$

Lorsque ${\displaystyle X}$ et ${\displaystyle Y}$ commutent avec leur commutateur (c'est-à-dire ${\displaystyle ]=]=0}$) le résultat se restreint à la formule dite de Glauber : ${\displaystyle e^{X+Y}=e^{X}~e^{Y}~e^{-{\frac {1}{2}}}}$. Elle est souvent appliquée en physique quantique avec les opérateurs position et impulsion ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle P}$.

• Algèbre de Lie
• Exponentielle d'une matrice
• Théorème d'Ado, qui permet de ramener le cas des algèbres de Lie au cas matriciel.

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