On considère un K-espace vectoriel E de dimension finie et un endomorphisme u de cet espace. Une décomposition de Frobenius est une décomposition de E en somme directe de sous-espaces dits cycliques, telle que les polynômes minimaux (ou caractéristiques) respectifs des restrictions de u aux facteurs sont les facteurs invariants de u. La décomposition de Frobenius peut s'effectuer sur un corps quelconque : on ne suppose pas ici que K est algébriquement clos.
Soit x un vecteur de E, l'ensemble
I x = { P ∈ K ∣ P ( u ) ( x ) = 0 } {\displaystyle I_{x}=\{P\in K\mid P(u)(x)=0\}}est un idéal de K non réduit à 0 (d'après le théorème de Cayley-Hamilton, le polynôme caractéristique est un polynôme non nul appartenant à cet idéal) ; il est donc engendré par un unique polynôme unitaire π u , x {\displaystyle \pi _{u,x}} appelé polynôme conducteur de u en x, ou parfois polynôme minimal local de u en x.
Soit x un vecteur de E, l'ensemble
S x = { P ( u ) ( x ) ∣ P ∈ K } {\displaystyle S_{x}=\{P(u)(x)\mid P\in K\}}est un sous-espace vectoriel de E stable par u appelé sous-espace u-cyclique engendré par x, ou encore clôture u-stable de x.
Soit P ∈ K {\displaystyle P\in K} , on a P ∈ I x {\displaystyle P\in I_{x}} si et seulement si ∀ y ∈ S x , P ( u ) ( y ) = 0 {\displaystyle \forall y\in S_{x},\ P(u)(y)=0} . Ainsi le polynôme conducteur π u , x {\displaystyle \pi _{u,x}} est le polynôme minimal de l'endomorphisme induit par u sur le sous-espace Sx.
La dimension de Sx est égale au degré du polynôme π u , x {\displaystyle \pi _{u,x}} .
Pour tout vecteur x de E, le polynôme conducteur π u , x {\displaystyle \pi _{u,x}} divise le polynôme minimal π u {\displaystyle \pi _{u}} de u. On dira que x est u-maximum lorsque π u , x = π u {\displaystyle \pi _{u,x}=\pi _{u}} . La décomposition de Frobenius s'appuie sur les deux résultats suivants (démontrés sur Wikiversité) :
En procédant par récurrence, on parvient alors à la décomposition de Frobenius.
Il existe une suite de vecteurs x 1 , x 2 , … , x p {\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{p}} de E telle que
Les polynômes π u , x i {\displaystyle \pi _{u,x_{i}}} ne dépendent pas du choix des vecteurs x i {\displaystyle x_{i}} , ce sont les facteurs invariants de u. Le polynôme minimal est π u = π u , x 1 {\displaystyle \pi _{u}=\pi _{u,x_{1}}} et le polynôme caractéristique est χ u = π u , x 1 π u , x 2 … π u , x p {\displaystyle \chi _{u}=\pi _{u,x_{1}}\pi _{u,x_{2}}\dots \pi _{u,x_{p}}} .
Deux endomorphismes sont semblables si et seulement s'ils ont les mêmes facteurs invariants.
Alternativement, on peut voir le théorème de décomposition de Frobenius comme un corollaire immédiat du théorème des facteurs invariants en effectuant la correspondance entre le K {\displaystyle \mathbb {K} } -espace-vectoriel E {\displaystyle E} et le K {\displaystyle \mathbb {K} } -module ( E , u ) {\displaystyle (E,u)} muni du produit externe défini par P ⋅ u x = P ( u ) ( x ) {\displaystyle P\cdot _{u}x=P(u)(x)} . Toutefois, le théorème des facteurs invariants est bien plus difficile à démontrer en toute généralité que la preuve décrite ici, qui utilise des techniques d'algèbre linéaire.
Les endomorphismes induits par u sont des endomorphismes cycliques dont il ne reste plus qu'à étudier les propriétés spécifiques.
On dit que u est un endomorphisme cyclique s'il existe un élément x de E tel que Sx = E.
On peut caractériser les endomorphismes cycliques de plusieurs manières : un endomorphisme u de E est cyclique si et seulement si :
J. Fresnel, Algèbre des matrices, Hermann, 1997, § A 4.1, p. 139-141