Continuité (mathématiques)

En mathématiques, la continuité est une propriété topologique d'une fonction. En première approche, une fonction f est continue si, à des variations infinitésimales de la variable x, correspondent des variations infinitésimales de la valeur f(x).

La continuité est associée à la notion de continuum dont l'origine est géométrique. Dans un continuum géométrique, comme le plan ou l'espace, un point peut se déplacer continument pour s'approcher à une précision arbitraire d'un autre point. La notion de continuité est définie de manière rigoureuse en mathématiques.

Le premier exemple de fonctions continues concerne des fonctions réelles définies sur un intervalle et dont le graphe peut se tracer sans lever le crayon. Cette première approche donne une idée de la notion (la fonction ne saute pas) mais n'est pas suffisante pour la définir, d'autant plus que certains graphes de fonctions pourtant continues ne peuvent pas se tracer de cette manière, telles par exemple des courbes ayant des propriétés fractales comme l'escalier de Cantor.

Historiquement définie pour des fonctions de la variable réelle, la notion de continuité se généralise à des fonctions entre espaces métriques ou entre espaces topologiques, sous une forme locale et sous une forme globale.

L'étude des fonctions continues se révèle fructueuse pour les propriétés qu'elles possèdent (propriété de convergence au sens où « lim(f(x)) = f(lim(x)) », théorème des valeurs intermédiaires, théorème des bornes, intégrabilité…).

Définition pour les fonctions réelles

Définition —  Soient I un intervalle réel, f : I → R {\displaystyle f:I\to \mathbb {R} } une fonction définie sur I à valeurs réelles et a ∈ I {\displaystyle a\in I} .

La fonction f est dite continue en a si :

∀ ε > 0 ∃ η > 0 ∀ x ∈ I ( | x − a | < η ⇒ | f ( x ) − f ( a ) | < ε ) . {\displaystyle \forall \varepsilon >0\quad \exists \eta >0\quad \forall x\in I\quad \left(|x-a|<\eta \Rightarrow |f(x)-f(a)|<\varepsilon \right).} Exemple d'une fonction continue sur un intervalle. Exemple d'une fonction non continue en 2 :
lim x → 2 x < 2 f ( x ) = 2 ≠ f ( 2 ) {\displaystyle \lim _{x\to 2 \atop x<2}f(x)=2\neq f(2)}
f n'est pas continue à gauche en 2.
lim x → 2 x > 2 f ( x ) = 3 = f ( 2 ) {\displaystyle \lim _{x\to 2 \atop x>2}f(x)=3=f(2)}
f est continue à droite en 2.

Ainsi f est continue en a si et seulement si la limite de f en a existe (elle vaut alors nécessairement f(a)). De même, dans la définition formelle de la limite, une définition équivalente est obtenue en remplaçant | x − a | < η {\displaystyle |x-a|<\eta } par | x − a | ≤ η {\displaystyle |x-a|\leq \eta } ou | f ( x ) − f ( a ) | < ε {\displaystyle |f(x)-f(a)|<\varepsilon } par | f ( x ) − f ( a ) | ≤ ε {\displaystyle |f(x)-f(a)|\leq \varepsilon } .

Cela veut dire qu'en fixant un seuil ε, on peut trouver un intervalle autour de a tel que f(x) soit à une distance inférieure à ε de f(a).

Commentaire

Une fonction qui n'est pas continue est dite discontinue.

C'est l'idée du seuil ε fixé à l'avance qui est importante. Cette définition est le fruit des efforts des mathématiciens du XIXe siècle pour rendre rigoureuse la notion intuitive de continuité. En analyse non standard, une approche plus intuitive est possible : on dira que f est continue en a si f(x) – f(a) est infiniment petit quand x – a est infiniment petit. Tout repose alors sur une définition rigoureuse des infiniment petits et cette définition ne s'applique qu'aux fonctions dites standards.

La définition globale de la continuité dans le cadre des espaces topologiques (voir plus bas) permet elle aussi de s'affranchir des ε, mais ceci au prix du formalisme de la topologie générale.

Exemples

Propriétés

La notion de continuité sur un intervalle pour les fonctions réelles :

La composée de fonctions continues est une fonction continue. La composée d'une fonction continue et d'une suite convergente est une suite convergente.

Les propriétés de stabilité de la continuité par combinaison linéaire (i.e. pour tous α, β réels et f, g fonctions réelles continues, la fonction αf + βg est continue) et par produit de deux fonctions font de l'ensemble des fonctions continues une algèbre sur le corps des réels.

Des erreurs à éviter

Définition dans le cas des espaces métriques

La droite réelle est un espace métrique, la distance usuelle sur R étant celle qui à deux nombres associe la valeur absolue de leur différence. La définition ci-dessus se généralise donc naturellement :

Définition

Définition —  Soient (E, d) et (E', d') deux espaces métriques, f une application de E dans E' et a un point de E.

On dit que l'application f est continue au point a si :

∀ ε > 0 ∃ η > 0 ∀ x ∈ E . {\displaystyle \forall \varepsilon >0\quad \exists \eta >0\quad \forall x\in E\quad \left.}

À nouveau, f est ainsi continue en a si et seulement si la limite de f en a existe (elle vaut alors nécessairement f(a)).

Exemples

C'est toujours le cas si l'espace de départ est de dimension finie, mais le cas non borné se présente en dimension infinie : considérons comme application linéaire la dérivation sur l'espace ℝ des polynômes réels, en choisissant, comme norme d'un polynôme, la somme des valeurs absolues de ses coefficients. Tous les monômes Xn sont de norme 1. Pourtant leurs polynômes dérivés sont de la forme nXn–1, donc de norme n avec n arbitrairement grand. Donc la famille des dérivées n'est pas bornée, et la dérivation n'est pas une application continue.

On donne deux définitions équivalentes dans le cas des espaces topologiques.

Définition locale

On peut faire reposer la définition locale (c'est-à-dire pour un point) de la continuité sur la notion de limite :

Définition —  Soient E et F deux espaces topologiques, f une application de E dans F et a un point de E.

La fonction f est dite continue au point a si f(a) est une limite de f en ce point.

Si F est séparé (ou même seulement T1) comme tout espace métrisable, il suffit pour cela qu'il existe une limite de f en ce point.

Caractérisation séquentielle Si E est métrisable (ou plus généralement : héréditairement séquentiel), f est continue en a si (et seulement si) pour toute suite (xn) convergeant vers a, la suite f(xn) converge vers f(a) ; et lorsque de plus F est T1 (ou même seulement à unique limite séquentielle), il suffit que pour toute suite (xn) convergeant vers a, la suite f(xn) admette une limite.

La notion de seuil utilisée pour les fonctions réelles est généralisée par la notion de voisinage : V ( a ) {\displaystyle {\mathcal {V}}(a)} désigne l'ensemble des voisinages de a, et V ( f ( a ) ) {\displaystyle {\mathcal {V}}\left(f(a)\right)} ceux de f(a). On démontre alors :

Théorème —  La fonction f est continue au point a si et seulement si l'image réciproque de tout voisinage W de f(a) est un voisinage de a, ce qui s'écrit :

∀ W ∈ V ( f ( a ) ) , f − 1 ( W ) ∈ V ( a ) . {\displaystyle \forall W\in {\mathcal {V}}(f(a)),\quad f^{-1}(W)\in {\mathcal {V}}(a).}

Il suffit pour cela que cette propriété soit vérifiée pour tout W d'une base de voisinages de f(a), par exemple pour tout W ouvert contenant f(a).

La fonction f est dite continue sur E (ou simplement : continue) si elle est continue en tout point de E. Elle est dite continue sur une partie A de E si sa restriction à A (muni de la topologie induite) est continue (il suffit pour cela que f soit continue en tout point de A).

Caractérisations globales

On peut déduire de la définition locale trois caractérisations équivalentes des applications qui sont continues (en tout point de l'espace de départ).

La première d'entre elles est qu'une application est continue si et seulement si l'image réciproque de tout ouvert de l'espace d'arrivée est un ouvert de l'espace de départ. La suivante, analogue, s'écrit en termes de fermés. La quatrième utilise les notions d'adhérence et d'image directe et les deux dernières, celles d'adhérence ou de frontière et d'image réciproque.

Le lien avec la notion intuitive est le suivant : quand une fonction « saute », cela signifie que des points très proches de l'espace de départ, se retrouvent sur des points très éloignés à l'arrivée. Or pour une application continue, ces sauts sont impossibles, d'après le théorème précédent.

Théorème —  Soient E et F deux espaces topologiques et f une application de E dans F. Les propriétés suivantes sont équivalentes :

  1. f est continue en tout point de E ;
  2. Pour tout ouvert O de F, f − 1 ( O ) {\displaystyle f^{-1}(O)} est un ouvert de E ;
  3. Pour tout fermé G de F, f − 1 ( G ) {\displaystyle f^{-1}(G)} est un fermé de E ;
  4. Pour toute partie A de E, f ( A ¯ ) {\displaystyle f\left({\overline {A}}\right)} est inclus dans f ( A ) ¯ {\displaystyle {\overline {f(A)}}}  ;
  5. Pour toute partie B de F, f − 1 ( B ) ¯ {\displaystyle {\overline {f^{-1}(B)}}} est inclus dans f − 1 ( B ¯ ) {\displaystyle f^{-1}\left({\overline {B}}\right)}  ;
  6. Pour toute partie C de F, ∂ f − 1 ( C ) {\displaystyle \partial f^{-1}(C)} est inclus dans f − 1 ( ∂ C ) {\displaystyle f^{-1}(\partial C)} .