Circuit RL

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Un circuit RL est un circuit électrique contenant une résistance et une bobine ; il est utilisé dans diverses applications, comme filtre passe-bas ou passe-haut, ou dans les convertisseurs de courant continu. Contenant deux composants, il se décline en deux versions différant dans la disposition des composantes (série ou parallèle).

Le circuit en série est analysé avec la loi des mailles pour donner :

${\displaystyle U=U_{R}+U_{L}}$

Dans le régime transitoire :

${\displaystyle U_{R}=R_{t}I,\quad U_{L}=L{\mathrm {d} I \over \mathrm {d} t}}$

L'équation différentielle qui régit le circuit est alors la suivante :

${\displaystyle U=L{\mathrm {d} I \over \mathrm {d} t}+R_{t}I}$

Avec :

• U la tension aux bornes du montage, en V ;
• I l'intensité du courant électrique en A ;
• L l'inductance de la bobine en H ;
• R_t la résistance totale du circuit en Ω.

La solution générale, associée à la condition initiale I_bobine(t = 0) = 0, est :

${\displaystyle I_{\mathrm {bobine} }={U \over R_{t}}(1-\mathrm {e} ^{-{t \over \tau }})}$

${\displaystyle \tau ={L \over R_{t}}}$

Avec τ la constante de temps du circuit, en s.

C'est la constante de temps τ qui caractérise la « durée » du régime transitoire. Ainsi, le courant permanent est établi à 1 % près au bout d'une durée de ${\displaystyle 4.6\tau }$.

Lorsque le courant devient permanent, l'équation se simplifie en U = RI car LdI/dt = 0.

Dans une analyse spectrale en régime sinusoïdal permanent, il faut considérer les impédances des composants en fonction de la pulsation :

${\displaystyle Z_{R}(\omega )=R,\quad Z_{L}(\omega )=jL\omega =2\pi jLf}$

où ω est la pulsation en rad.s^-1, f est la fréquence en s^-1 et j désigne l'unité imaginaire, telle que j² = -1.

On pose U_e = U la tension entrant dans le quadripôle et U_s la tension sortant du quadripôle. On a deux possibilités pour l'expression de U_s :

${\displaystyle U_{s}=U_{R}={Z_{R} \over Z_{R}+Z_{L}}U_{e}={R \over R+jL\omega }U_{e}}$

${\displaystyle U_{s}=U_{L}={Z_{L} \over Z_{R}+Z_{L}}U_{e}={jL\omega \over R+jL\omega }U_{e}}$

On note H_R(ω) et H_L(ω) les fonctions de transfert de chaque cas respectif.

${\displaystyle H_{L}(\omega )={V_{L}(\omega ) \over U_{e}(\omega )}={j{L \over R}\omega \over 1+j{L \over R}\omega }}$

La fonction de transfert peut s'écrire ${\displaystyle H_{L}(\omega )=G_{L}\mathrm {e} ^{j\varphi _{L}}}$ où G est le gain et φ_L, la phase.

Ainsi, ${\displaystyle H_{L}(\omega )=G_{L}\mathrm {e} ^{j\varphi _{L}}}$avec :

${\displaystyle G_{L}={\frac {{\frac {L}{R}}\omega }{\sqrt {1+({\frac {L}{R}}\omega )^{2}}}}}$

${\displaystyle \varphi _{L}=\arg(H)={\frac {\pi }{2}}-\arctan \left({\frac {L}{R}}\omega \right)}$

Quand ω tend vers 0 :

${\displaystyle H_{L}\approx j{\frac {L}{R}}\omega \ {\textrm {donc}}\ G_{L}\to 0\ {\textrm {et}}\ \varphi _{L}\to {\frac {\pi }{2}}}$

Quand ω tend vers l'infini :

${\displaystyle G_{L}\to 1\ {\textrm {et}}\ \varphi _{L}\to 0}$

Ainsi, lorsque la sortie du filtre est prise sur la bobine le comportement est du type filtre passe-haut : les basses fréquences sont atténuées et les hautes fréquences passent.

La fréquence de coupure ${\displaystyle f_{c}}$ d'un circuit est la fréquence pour laquelle le gain en tension vaut :${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}}$, soit −3 dB. Cette fréquence est égale à :

${\displaystyle f_{c}={\frac {R}{2\pi L}}}$ (en Hz)

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