Équation intégrale de Fredholm
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En mathématiques, l'équation intégrale de Fredholm est une équation intégrale étudiée par Ivar Fredholm. La caractéristique principale d'une équation de Fredholm est que les bornes d'intégration sont constantes.
Son étude donne naissance à la théorie de Fredholm (en), à l'étude des noyaux de Fredholm (en) et des opérateurs de Fredholm.
Équation de Fredholm du premier type
Il s'agit d'une équation intégrale de la forme :
f ( x ) = ∫ a b K ( x , t ) Φ ( t ) d t {\displaystyle f(x)=\int _{a}^{b}K(x,t)\Phi (t)\,\mathrm {d} t}
La notation est celle d'Arfken et Weber. Ici la fonction inconnue est Φ, tandis que f et K sont des fonctions connues. La fonction de deux variables K est souvent appelée la fonction opérateur intégral du noyau.
Article détaillé : Opérateur intégral.Équation de Fredholm du second type
À la différence du cas précédent, la fonction inconnue apparaît à la fois à l'intérieur et à l'extérieur de l'intégrale :
Φ ( x ) = f ( x ) + λ ∫ a b K ( x , t ) Φ ( t ) d t {\displaystyle \Phi (x)=f(x)+\lambda \int _{a}^{b}K(x,t)\Phi (t)\,\mathrm {d} t}
Le facteur inconnu λ est un paramètre qui joue le même rôle que la notion de valeur propre en algèbre linéaire.
Références
- George Arfken et Hans Weber, Mathematical Methods for Physicists, Harcourt/Academic Press, 2000
- Cet article est partiellement ou en totalité issu de l'article intitulé « Équation intégrale » (voir la liste des auteurs).
